Udmattelsesanalyse med finite element-metoden

Ingeniører, der konstruerer maskiner og konstruktioner, skal sikre, at deres produkter kan modstå langvarig drift uden skader. Et af de mest kritiske fænomener, der begrænser konstruktionens levetid, er materialetræthed – den gradvise dannelse af træthedsrevner som følge af belastningscykler, selv når belastningerne ligger langt under materialets statiske styrke. Det anslås, at træthed står for ~90% af fejl i mekaniske komponenter under brug. Værre endnu udvikler træthedsrevner sig skjult – fra mikroskopiske revner til en pludselig, katastrofal svigt – ofte uden varsel. Derfor er analyse af træthedsmodstand et meget vigtigt element i sikkerhedsorienteret design af mekaniske konstruktioner. Træthedsanalyse går i praksis ud på at forudsige, efter hvor mange cykler et givent sted i konstruktionen kan revne. I dag udføres den ved hjælp af computersimuleringer, hvor man kombinerer styrkeberegninger med FEM (metoden med endelige elementer) med modeller, der beskriver materialets opførsel ved cykliske belastninger. En sådan simulering af træthedslevetid gør det muligt for ingeniører at identificere konstruktionens kritiske punkter, forebygge svigt og revnedannelse allerede i designfasen samt optimere konstruktionen med fokus på holdbarhed. Resultatet er, at en korrekt udført træthedsanalyse hjælper med at undgå dyre fejl eller produkt-tilbagekaldelser og frem for alt øger produktets sikkerhed og driftssikkerhed i brug.

Hvad går træthedsanalyse ud på i FEM-beregninger?

Traditionel styrkeanalyse (statisk) i FEM kontrollerer, om konstruktionen kan modstå en enkelt, maksimal belastning uden plastiske deformationer eller brud. Men opfyldelse af statiske kriterier garanterer ikke langvarig holdbarhed – en komponent kan godt undgå at revne ved en engangsbelastning, men kan blive træthedspåvirket ved gentagen belastning. Træthedsanalyse supplerer derfor FEM-beregningerne med en vurdering af konstruktionens levetid ved gentagen belastning.

I ingeniørpraksis foregår det typisk sådan: Først opbygges en FEM-model af komponenten, og der udføres FEM-beregninger for karakteristiske belastningstilfælde (fx simulering af kørsel på ujævn vej for et køretøjs chassisramme, vindstødsbelastning for en vindmøllekonstruktion osv.). FEM leverer fordelingen af spændinger (og deformationer) i hele modellen. Derefter kobles disse resultater med en materialemodel, der tager højde for materialets træthedsegenskaber – oftest i form af en S-N-kurve (Wöhler) eller parametre for træthedsstyrke. På den baggrund beregnes træthedslevetiden: dvs. antal cykler til revneinitiering eller en sikkerhedsfaktor mod træthed i hvert punkt af konstruktionen. Disse beregninger kan udføres direkte i FEM-softwaren (i træthedsmoduler) eller ved hjælp af specialiserede værktøjer til træthedsanalyse. Resultatet er bl.a. et kort over de områder, der er mest udsatte for revnedannelse, samt et estimat af, efter hvor mange cykler der opstår skade. Dermed ved konstruktøren, hvilke områder af konstruktionen der kræver forbedringer for at opnå den ønskede levetid og sikker drift.

Grundlæggende metoder til vurdering af materialetræthed

Der findes flere veletablerede tilgange til træthedsberegninger. Valget af metode afhænger bl.a. af deformationsniveauet (elastisk eller plastisk), antallet af cykler til svigt samt belastningernes karakter. De grundlæggende metoder omfatter:

• S-N-metoden (stress-life, Wöhler-kurve) – Den klassiske spænding–antal cykler-tilgang bygger på kurver, der viser sammenhængen mellem spændingsniveauet og antallet af cykler til brud. S-N-kurven for et givent materiale bestemmes eksperimentelt – materialprøver udsættes for sinusformet cyklisk belastning med forskellig amplitude, og derefter registreres antallet af cykler til revnedannelse for hver prøve. Herved fås en kurve (ofte i log-log-skala) kaldet Wöhler-kurven, hvor lavere spændinger svarer til længere levetid (flere cykler til brud).. S-N-metoden forudsætter elastisk materialeadfærd – den egner sig primært til højcyklus-udmattelse, hvor spændingerne forbliver under flydegrænsen, og levetiden opgøres i tusinder til millioner af cykler. Man antager, at over ca. 10^4 cykler (fx i områder >10 tusinde) dominerer det elastiske område stadig, så S-N-metoden giver pålidelige resultater. S-N-kurven har ofte et vandret forløb ved et stort antal cykler – dette svarer til materialets udmattelsesgrænse (endurance limit), dvs. en amplitude, under hvilken stålprøver kan modstå et ubegrænset antal cykler uden brud. (Bemærk: ikke alle materialer har en tydelig udmattelsesgrænse – fx udviser aluminium en gradvis reduktion i styrke, når antallet af cykler stiger, og derfor defineres der konventionelt en styrke ved 10^7 cykler i stedet for uendelig levetid).
• ε-N-metoden (strain-life, deformationsmetoden) – Når tøjningerne ikke forbliver elastiske, opstår der lokale plastiske zoner (fx ved hak, steder med spændingskoncentration), og så falder nøjagtigheden af S-N-metoden. I sådanne tilfælde anvendes tøjning–antal cykler-metoden, også kendt som Coffin–Manson-metodikken. ε-N-metoden summerer elastiske og plastiske tøjninger i løbet af en cyklus – den definerer den samlede tøjningamplitude som summen af den elastiske amplitude (Δε_e/2) og den plastiske (Δε_p/2). ε-N-kurver kombinerer Basquins lov (beskrivelse af den elastiske del af spænding–cyklus-sammenhængen) og Coffin–Manson (beskrivelse af den plastiske del) i én ligning. Deformationsmetoden anvendes primært til lavcyklus-udmattelse (når antallet af cykler til svigt er lavt, i størrelsesordenen <10 tusinde, men hvor der til gengæld forekommer høje spændingsamplituder tæt på materialets flydegrænse). Ved at medtage plastiske tøjninger forudsiger ε-N-metoden bedre levetiden for komponenter, der arbejder under store deformationer (fx under maskinopstarter, termiske cykler, der giver termisk udvidelse osv.).
• Indflydelse af middelspænding – Goodman-diagram – Reelle belastninger er sjældent fuldt symmetrisk vekslende (fra træk til tryk). Ofte er der tale om cyklisk belastning med en vis statisk komponent (såkaldt middelspænding). Trækkende middelspænding er typisk skadelig for udmattelseslevetiden (fremskynder revneinitiering), mens trykspænding kan virke gunstigt (ved at lukke mikrorevner). For at tage højde for middelspænding i beregninger anvendes korrektioner og konstant-levetid-diagrammer (såkaldte Goodman-, Gerber- og Soderberg-diagrammer). Det mest udbredte er Goodman-diagrammet – i et koordinatsystem afsættes middelspændingen på den vandrette akse og amplituden af de vekslende spændinger på den lodrette akse. Diagrammet afgrænser området for sikre kombinationer af disse værdier. Goodman-linjen forbinder punktet Rm (materialets trækstyrke ved middelspænding lig Rm og nul amplitude) med punktet for udmattelsesgrænsen (maksimal amplitude ved nul middelspænding). Enhver kombination af middel- og vekselspænding, der ligger under Goodman-linjen, betyder, at der ikke opstår revner ved et uendeligt antal cykler, mens punkter over linjen indebærer risiko for udmattelsessvigt. I praksis korrigerer ingeniører ofte den effektive spændingsamplitude efter Goodman-formlen (eller Gerber for plastiske materialer), før S-N-kurven anvendes – det gør det muligt at estimere levetiden ved en given middelspænding.
• Kriterier for multiaxial udmattelse (fx Dang Van) – Mange komponenter udsættes for belastninger med en kompleks (multiaxial) spændingstilstand – fx en kombination af bøjning og torsion i en aksel eller tryk + bøjning i et rør. Klassiske S-N-kurver bygger på nominelt enaksiale spændinger, så til vurdering af multiaxial udmattelse anvendes kriterier, der inddrager relevante styrkehypoteser. Et eksempel er Dang Van-kriteriet, som især bruges til vurdering af udmattelsesstyrkegrænsen ved sammensatte belastninger. Dang Van-metoden bygger på at finde kombinationer af mikroskopiske forskydningsspændinger og hydrostatisk tryk i materialet, som kan initiere mikrorevner. Resultatet af en Dang Van-analyse angives som en sikkerhedsfaktor (safety factor) i forhold til udmattelse ved et uendeligt antal cykler, og ikke som et konkret antal cykler til svigt. For at anvende dette kriterium kræves særlige materialeparametre (bestemt ud fra en- og toaksiale materialetest). Det bruges fx i bilindustrien ved analyse af holdbarheden af ophængskomponenter, gear m.m., hvor belastningerne varierer i flere akser, og hvor der kræves ubegrænset levetid for komponenten med en passende sikkerhedsmargin.
• Palmgren–Miner-reglen (skadesakkumulering) – Når en konstruktionsdel oplever varierende belastningsamplituder (et såkaldt belastningsspektrum), er én enkelt S-N-kurve ikke tilstrækkelig – materialet pådrager sig skader fra cykler på forskellige niveauer. Miner’s regel er en enkel og udbredt hypotese om lineær akkumulering af udmattelsesskader. Ifølge den forbruger hver cyklus med en given amplitude en vis andel af materialets “levetid”. Trods forenklinger er metoden bredt anvendt i ingeniørarbejde (bilindustri, luftfart, offshore-konstruktioner) til overslagsmæssig vurdering af udmattelseslevetid ved komplekse varierende belastninger. Den gør det muligt at summere effekten af fx tusindvis af forskellige målte belastninger på en byggeplads til en enkel indikator for, hvor meget af komponentens udmattelseslevetid der er opbrugt.

Forløb af udmattelsesanalyse trin for trin

Udmattelsesanalyse med finitte elementer er en struktureret proces, der trin for trin gør det muligt at vurdere konstruktionens holdbarhed og udpege kritiske områder. Nedenfor præsenterer vi en typisk rækkefølge af aktiviteter:

1. Definition af problem og FEM-model: Ingeniøren definerer komponentens geometri samt de belastningstilfælde, der bedst afspejler de reelle driftsforhold. På dette trin fastlægges, hvilke typer cykliske belastninger der skal analyseres (fx sinusformede belastninger, tilfældige vibrationer, tænd/sluk-cyklusser for udstyr osv.). Der opbygges en model af komponenten med finitte elementer – FEM-net, materialeegenskaber (elastiske, plastiske) samt randbetingelser og belastninger svarende til de gentagne driftscyklusser.
2. FEM-beregninger for cykliske belastninger: Der gennemføres FEM-simuleringer (oftest statiske eller dynamiske analyser) for at bestemme spændinger og deformationer fra de givne belastninger. I et enkelt tilfælde kan det være én belastningscyklus (fx maksimal bøjning af en bjælke), mens det i mere komplekse tilfælde er en serie af flere cases, der repræsenterer forskellige faser af cyklussen eller forskellige belastningsscenarier. Hvis der foreligger en belastningshistorik fra målinger (fx tøjningsmålinger over tid) – anvendes cyklusekstraktionsteknikker som Rainflow-algoritmen til at reducere et varierende belastningssignal til et sæt cyklusblokke med definerede amplituder og middelværdier.
3. Identifikation af højt belastede områder: Allerede ud fra selve FEM-spændingsanalysen kan man udpege områder med de højeste spændinger eller de største spændingskoncentrationer (fx ved indsnævringer, huller, svejseovergange osv.). Det er dér, initiering af udmattelsesrevner sandsynligvis vil ske. I udmattelsesanalyse er disse placeringer særligt vigtige – ofte defineres såkaldte udmattelses-hotspots, dvs. punkter hvor levetiden beregnes. FEM-softwaren kan automatisk finde elementer med den mest ugunstige faktor for varierende spændinger, eller ingeniøren udvælger dem på baggrund af resultater og erfaring.
4. Valg af udmattelsesmodel og materialedata: I næste trin skal der tilvejebringes data for materialets udmattelsesstyrke. Der vælges en passende S-N-kurve for materialet (med en given sikkerhedsfaktor, overlevelsessandsynlighed – fx 97,7% – samt for det relevante R-område, dvs. forholdet mellem min-/max-spænding). Hvis der forventes plastiske deformationer, anvendes ε-N-kurver i stedet for S-N (Coffin-Manson-parametre for materialet). Kilder til disse data kan være branchestandarder, forsøgsresultater fra materialets producent eller udmattelsesdatabaser. Det er også nødvendigt at fastlægge, om der anvendes korrektion for middelspænding – fx ved at indføre en middelspændingsparameter for den pågældende cyklus eller ved konservativt at anvende Goodman-diagrammet (hvilket i praksis svarer til at reducere den tilladelige amplitude af varierende spændinger, når middelspændingen stiger). Efter behov medtages korrektioner for hakfølsomhedsfaktor og overfladekvalitet, især når S-N-data stammer fra laboratorieforsøg på glatte prøvestykker, mens den faktiske komponent har en ru overflade eller svejsede samlinger.
5. Beregning af levetid eller skade: Med en spændingsfordeling fra et belastningsscenarie samt materialedata går man videre til selve levetidsforudsigelsen. For hvert relevant punkt (fx et element i FEM-nettet i et hotspot) beregnes dets udmattelseslevetid. Hvis der er én dominerende belastningscyklus, aflæses antallet af cyklusser til brud fra S-N-kurven ved en amplitude svarende til spændingen i punktet og middelspændingen). Ofte har man dog mange forskellige belastningsniveauer – så anvendes den ovenfor beskrevne Miner-summering. Resultatet af en udmattelsesanalyse er ofte også en sikkerhedsfaktor – en multipel reserve i forhold til det forudsatte antal cyklusser eller det minimale antal cyklusser divideret med det krævede antal cyklusser. Ved kriterier som Dang Van angives resultatet direkte som en sikkerhedsfaktor for uendelig levetid (fx information om, hvorvidt et givent område kan klare de krævede 10^6 cyklusser med en reserve på 1.5 eller ej).
6. Lokalisering og vurdering af revner: Det sidste trin er fortolkning af resultaterne. Analysen peger på konkrete områder af konstruktionen med den laveste levetid (eller den højeste skade). Det er dér, initiering af udmattelsesrevner tidligst kan begynde. I rapporter præsenteres der typisk konturplots på FEM-modellen, som viser fordelingen af det forudsagte antal cyklusser til brud eller værdien af udmattelsessikkerhedsfaktoren. Ingeniøren fokuserer på de elementer, der udviser de mest kritiske værdier. Hvis den minimale forudsagte konstruktionens levetid ikke opfylder kravene (fx at komponenten skal holde 1 million cyklusser, mens analysen viser revnedannelse efter 200 tusind), bør der foreslås designændringer: ændring af geometri (afrunding af indsnævringer, øgning af tværsnit), valg af et materiale med bedre udmattelsesstyrke, forbedring af overfladekvalitet eller anvendelse af hærdende processer (fx kugleblæsning) for at forlænge levetiden.
7. Verifikation og prototypetest: Selvom FEM-udmattelsesanalyse giver værdifulde prognoser, er bedste praksis at bekræfte resultaterne med prototypetest. Ofte udføres udmattelsestest af nøglekomponenter eller hele delsystemer (fx cyklisk belastning af en bils affjedring i flere millioner cyklusser på et testanlæg) og sammenholdes med simuleringens forudsigelser. Dermed kan modellen kalibreres, og de opnåede eksperimentelle data gør det muligt at tilpasse materialemodellen bedre (fx ved at præcisere S-N-kurver for det faktiske materiale efter svejsning eller bearbejdning). Denne verifikationssløjfe betyder, at det endelige produkt får en udmattelseslevetid, der er bekræftet både ved simulering og eksperiment, hvilket øger tilliden til dets sikkerhed.

Anvendelse af udmattelsesanalyse i forskellige brancher

Udmattelsesanalyser er i dag standard i mange industrigrene – fra bilindustrien til energisektoren. Overalt hvor komponenter udsættes for gentagne belastninger, anvender ingeniører udmattelsessimuleringer for at sikre tilstrækkelig holdbarhed og forebygge svigt. Nedenfor er nogle eksempler på anvendelser i brancher:

• Bilindustrien: Køretøjskonstruktioner skal kunne modstå hundredtusindvis af kilometer med vibrationer, stød og skiftende belastninger. Udmattelsesanalyse bruges ved design af bærende rammer, affjedringskomponenter, karrosserier, aksler, fælge og endda motorkomponenter. For eksempel udsættes en bærearm i affjedringen for kontinuerlige bøjningscykler ved ujævnheder i vejen – en udmattelsessimulering gør det muligt at vurdere, om den ikke vil revne efter et bestemt antal torsionscykler. I motorer undersøges krumtapaksler og plejlstænger for materialetræthed fra millioner af forbrændingscykler. Bilproducenter anvender både FEM-beregninger og prøvninger på teststand (såkaldt durability testing) for at sikre, at f.eks. køretøjets ramme ikke får udmattelsesrevner gennem hele levetiden. Udmattelsesanalyser gør det også muligt at optimere komponenternes masse – at fjerne unødig overdimensionering dér, hvor et mindre tværsnit stadig opfylder holdbarhedskravene, hvilket giver lettere og mere brændstoføkonomiske køretøjer.
• Luftfart: Luftfartsbranchen har – allerede siden de tragiske ulykker med De Havilland Comet-jetfly i 1950’erne (forårsaget af udmattelsesrevner i skrogbeklædningen omkring vinduer) – lagt enorm vægt på materialetræthed. Hvert passagerfly har en defineret udmattelseslevetid i start-/landingscykler samt trykcykler for skroget. Styrkeberegninger af luftfartskonstruktioner indeholder altid et afsnit om udmattelse – f.eks. beregninger af efter hvor mange trykcykler der opstår en revne i beklædningen, eller hvornår en landingsstelkomponent kan kræve udskiftning. Der anvendes fail-safe– og damage-tolerance-filosofier, dvs. man forudsætter, at revner kan forekomme, og designer komponenter, så en fejl ikke bliver pludselig eller katastrofal (f.eks. dobbelte hovedbjælker i vingerne, regelmæssige defektoskopiske inspektioner af kritiske zoner). Simulering af udmattelsesholdbarhed gør det muligt at fastlægge inspektionsintervaller – f.eks. at forudsige, at efter 5000 flycykler skal en bestemt knude i landingsstellet inspiceres. På den måde opretholder luftfarten et højt sikkerhedsniveau, og flykonstruktionens komponenter udnyttes optimalt (de udskiftes hverken for tidligt eller for sent).
• Industrimaskiner og ingeniørkonstruktioner: I tung industri arbejder mange anlæg cyklisk – smedepresser påfører tryk tusindvis af gange, traverskraner løfter og sænker gentagne gange laster, og broer og kraner udsættes for cykliske belastninger fra køretøjstrafik eller vind. Udmattelsesanalyser anvendes f.eks. for kranbomme (vurdering af svejsers levetid i områder med de største bøjningsmomenter), spil-/vinschtromler (antal opviklingscykler til brud), eller stålkonstruktioner i højhuse (svaj i vinden giver milliarder af spændingscykler i konstruktionens elementer). Også i anlægsteknik undersøges udmattelse – f.eks. skal vejbroer kunne modstå hundredtusindvis af lastbilpassager. Standarder (f.eks. Eurocode) kræver, at der gennemføres udmattelsesanalyser for broer, hvor køretøjstrafik indgår som en serie belastningscykler. I roterende maskiner som turbiner eller generatorer er udmattelse også afgørende – skovle i en dampturbine påvirkes af periodiske kraftvariationer fra dampstrømmen, og generatoraksler udsættes for torsionsvibrationer. Hver sådan komponent er følsom over for udmattelsesrevner, og derfor analyserer ingeniører allerede i designfasen disse fænomener for at forebygge svigt under drift.
• Energisektoren: I energisektoren, især inden for vedvarende energi og kraftværker, spiller udmattelsesforhold en stor rolle. For eksempel udsættes vindmøller for kontinuerligt varierende vindbelastninger – rotorblade bøjer ved hver omdrejning og hvert vindstød, hvilket betyder millioner af spændingscykler i løbet af 20-30 års drift. Udmattelsesanalyse gør det muligt at forudsige, om der f.eks. efter 10^7 cykler i et kritisk område af bladet (ved roden) ikke opstår en revne; på den baggrund fastlægges møllens designlevetid, og der planlægges periodiske inspektioner af bladene. I klassisk termisk energiproduktion opstår der derimod et problem med lavcyklisk termisk udmattelse – f.eks. udsættes rørledninger og kedler for spændinger ved hver opvarmning og afkøling af anlægget. Antallet af fulde opstarts-/nedlukningscykler for et kraftværk begrænses netop af materialets udmattelsesstyrke (FEM-analyser fastlægger, hvor mange sådanne termiske cykler et kedelrør kan modstå, før det revner). Også på atomkraftværker er styrkeberegninger med fokus på udmattelse af komponenter i køle- og tryksystemer obligatoriske. Udmattelsessimuleringer peger på placeringer med potentielle revner (f.eks. ved dyseovergange, indsvajsninger, rørbøjninger) og gør det muligt at planlægge NDT-inspektioner af disse områder under revisionsstop, før der sker udvikling af en kritisk revne. Samlet set er udmattelsesanalyse i energisektoren et værktøj, der sikrer både pålidelig energiforsyning og infrastruktursikkerhed.

Afslutningsvis er udmattelsesanalyse et stærkt værktøj i maskiningeniørens værktøjskasse. Den supplerer de traditionelle FEM-beregninger med et tids- og levetidsperspektiv og giver dermed et mere komplet billede af konstruktionens sikkerhed. I en tid med stigende krav til produkters pålidelighed, hårdere markedskonkurrence og ansvar over for brugeren bliver evnen til at forudsige udmattelsesadfærd afgørende. En investering i en grundig udmattelsesanalyse i designfasen betaler sig mange gange igen under drift – i form af driftsikker funktion, lavere serviceomkostninger og tilfredse brugere, som får et produkt med lang levetid. Derfor er det værd allerede fra projektstart at indtænke udmattelsesanalyser som et standardelement i ingeniørmæssig konstruktion af mekaniske konstruktioner, på samme måde som statiske eller termiske analyser. En sådan holistisk tilgang sikrer, at vores konstruktioner ikke kun er stærke på papiret, men også holdbare i den virkelige verden.