Analyse de fatigue par éléments finis (MEF)

Les ingénieurs qui conçoivent des machines et des structures doivent s’assurer que leurs produits résistent à une exploitation de longue durée sans dommages. L’un des phénomènes les plus dangereux limitant la durée de vie d’une structure est la fatigue du matériau – l’apparition progressive de fissures de fatigue sous l’effet de cycles de charge, même lorsque les sollicitations restent largement en dessous de la résistance statique du matériau. On estime que la fatigue est responsable d’environ 90% des défaillances des éléments mécaniques en service. Pire encore, les fissures de fatigue se développent de manière insidieuse – de microfissures à une rupture brutale et catastrophique – souvent sans avertissement. C’est pourquoi l’analyse de la résistance à la fatigue constitue un volet essentiel de la conception des structures mécaniques orientée sécurité. En pratique, l’analyse de fatigue consiste à prévoir après combien de cycles une zone donnée de la structure peut se fissurer. Aujourd’hui, elle est réalisée à l’aide de simulations informatiques, en combinant les calculs de résistance par FEM (méthode des éléments finis) avec des modèles décrivant le comportement du matériau sous chargements cycliques. Une telle simulation de durée de vie en fatigue permet aux ingénieurs d’identifier les points sensibles de la structure, de prévenir les défaillances et les fissures dès la phase de conception et d’optimiser la structure en termes de durabilité. Ainsi, une analyse de fatigue correctement menée aide à éviter des pannes coûteuses ou des rappels de produits et, surtout, à accroître la sécurité et la fiabilité du produit en exploitation.

En quoi consiste l’analyse de fatigue dans les calculs par éléments finis (MEF) ?

L’analyse de résistance (statique) traditionnelle en MEF vérifie si la structure supporte une charge unique, maximale, sans déformations plastiques ni rupture. Toutefois, le respect des critères statiques ne garantit pas une durabilité à long terme : un élément peut ne pas se rompre sous une charge ponctuelle, mais peut se fatiguer après la répétition multiple de cette charge. L’analyse de fatigue complète donc les calculs MEF par une évaluation de la durée de vie de la structure lors de la répétition multiple des charges.

Dans la pratique de l’ingénierie, cela se déroule ainsi : on commence par réaliser un modèle MES de la pièce et des calculs MES pour des cas de charge caractéristiques (p. ex. simulation de la conduite sur une route dégradée pour le châssis d’un véhicule, charge due aux rafales de vent pour la structure d’une éolienne, etc.). La MES fournit la répartition des contraintes (et des déformations) sur l’ensemble du modèle. Ensuite, on complète ces résultats par un modèle matériau prenant en compte les propriétés de fatigue du matériau — le plus souvent sous la forme d’une courbe S-N (Wöhler) ou de paramètres de résistance à la fatigue. Sur cette base, on calcule la durée de vie en fatigue : c’est-à-dire le nombre de cycles jusqu’à l’initiation d’une fissure ou le coefficient de sécurité vis-à-vis de la fatigue en chaque point de la structure. Ces calculs peuvent être réalisés directement dans le logiciel MES (via des modules de fatigue) ou à l’aide d’outils spécialisés d’analyse de fatigue. Le résultat comprend notamment une cartographie des zones les plus exposées à la fissuration ainsi qu’une estimation du nombre de cycles avant défaillance. Grâce à cela, le concepteur sait quelles zones de la structure doivent être améliorées afin d’atteindre la durée de vie visée et une exploitation sûre.

Méthodes fondamentales d’évaluation de la fatigue des matériaux

Il existe plusieurs méthodes éprouvées pour le calcul de la fatigue. Le choix de la méthode dépend de facteurs tels que l’amplitude de la déformation (élastique ou plastique), le nombre de cycles à rupture et la nature des charges. Les méthodes de base comprennent :

• Méthode S-N (stress-life, courbe de Wöhler) – Cette approche classique contrainte–nombre de cycles s’appuie sur des graphiques montrant la relation entre le niveau de contrainte et le nombre de cycles jusqu’à la rupture. La courbe S-N d’un matériau donné est déterminée expérimentalement : des éprouvettes sont soumises à un chargement cyclique sinusoïdal d’amplitudes différentes, puis on relève le nombre de cycles jusqu’à la fissuration de chaque éprouvette. On obtient ainsi un graphique (souvent en échelle log-log) appelé courbe de Wöhler, sur lequel des contraintes plus faibles correspondent à une durée de vie plus élevée (davantage de cycles avant fissuration).. La méthode S-N suppose un comportement élastique du matériau ; elle convient surtout à la fatigue à grand nombre de cycles, lorsque les contraintes restent en dessous de la limite d’élasticité et que la durée de vie se compte de milliers à millions de cycles. On admet qu’au-delà d’environ 10^4 cycles (par exemple, dans des plages >10 milliers), le domaine élastique reste dominant ; la méthode S-N fournit donc des résultats fiables. La courbe S-N présente souvent un tronçon horizontal pour un grand nombre de cycles : il correspond à la limite d’endurance du matériau (endurance limit), c’est-à-dire à l’amplitude en dessous de laquelle des éprouvettes en acier peuvent supporter un nombre de cycles illimité sans fissuration. (Remarque : tous les matériaux ne présentent pas une limite d’endurance nette ; par exemple, l’aluminium montre une diminution progressive de la résistance à mesure que le nombre de cycles augmente, c’est pourquoi on définit conventionnellement pour lui une résistance à 10^7 cycles plutôt qu’une durée de vie infinie).
• Méthode ε-N (strain-life, méthode déformationnelle) – Lorsque les déformations ne restent pas élastiques, des plastifications locales apparaissent (p. ex. au niveau d’entailles, de zones de concentration des contraintes), et la précision de la méthode S-N diminue. On utilise alors la méthode déformation–nombre de cycles, également appelée approche de Coffin-Manson. La méthode ε-N additionne, sur un cycle, les déformations élastiques et plastiques – elle définit l’amplitude totale de déformation comme la somme de l’amplitude élastique (Δε_e/2) et de l’amplitude plastique (Δε_p/2). Les courbes ε-N combinent en une seule équation les lois de Basquin (description de la partie élastique de la relation contrainte–cycles) et de Coffin-Manson (description de la partie plastique). La méthode déformationnelle est utilisée principalement pour la fatigue oligocyclique (lorsque le nombre de cycles jusqu’à la rupture est faible, de l’ordre de <10 milliers, mais avec des amplitudes de contraintes élevées, proches de la limite d’élasticité du matériau). En tenant compte des déformations plastiques, la méthode ε-N prédit mieux la durée de vie des éléments travaillant dans des conditions de fortes déformations (p. ex. lors des démarrages de machines, de cycles thermiques provoquant la dilatation thermique, etc.).
• Influence de la contrainte moyenne – diagramme de Goodman – Les charges réelles sont rarement entièrement alternées de façon symétrique (de la traction à la compression). On est souvent en présence d’un chargement cyclique comportant une certaine composante statique (la contrainte moyenne). Une contrainte moyenne en traction (tensive) est généralement défavorable à la tenue en fatigue (elle accélère l’amorçage des fissures), tandis qu’une contrainte moyenne en compression peut avoir un effet bénéfique (en refermant les microfissures). Pour prendre en compte l’influence de la contrainte moyenne dans les calculs, on utilise des corrections et des diagrammes d’endurance constante (les diagrammes de Goodman, Gerber, Soderberg). Le plus courant est le diagramme de Goodman : dans un repère, on reporte la contrainte moyenne sur l’axe horizontal et l’amplitude des contraintes alternées sur l’axe vertical. Le diagramme délimite la zone des combinaisons sûres de ces valeurs. La droite de Goodman relie le point Rm (résistance ultime du matériau pour une contrainte moyenne égale à Rm et une amplitude nulle) au point correspondant à la limite d’endurance (amplitude maximale pour une contrainte moyenne nulle). Toute combinaison de contrainte moyenne et de contrainte alternée située sous la droite de Goodman signifie l’absence d’amorçage de fissures pour un nombre infini de cycles, tandis que les points au-dessus indiquent un risque de rupture par fatigue. En pratique, les ingénieurs corrigent souvent l’amplitude effective des contraintes selon la formule de Goodman (ou de Gerber pour les matériaux ductiles) avant d’utiliser la courbe S-N ; cela permet d’estimer la durée de vie pour une contrainte moyenne donnée.
• Critères de fatigue multiaxiale (p. ex. Dang Van) – De nombreux éléments sont soumis à des charges induisant un état de contraintes complexe (multiaxial) – par exemple une combinaison de flexion et de torsion d’un arbre, ou pression + flexion dans un tube. Les courbes S-N classiques sont basées sur des contraintes nominalement uniaxiales ; pour évaluer la fatigue multiaxiale, on utilise donc des critères intégrant des hypothèses de résistance appropriées. Un exemple est le critère de Dang Van, employé notamment pour l’évaluation de la limite d’endurance en fatigue sous chargements complexes. La méthode de Dang Van consiste à rechercher, dans le matériau, des combinaisons de microcontraintes de cisaillement et de pression hydrostatique susceptibles d’initier des microfissures. Le résultat d’une analyse Dang Van se présente sous la forme d’un coefficient de sécurité (safety factor) vis-à-vis de la fatigue pour un nombre infini de cycles, et non d’un nombre précis de cycles jusqu’à la rupture. L’application de ce critère nécessite des paramètres matériaux spécifiques (déterminés à partir d’essais uniaxiaux et biaxiaux du matériau). Il est utilisé, par exemple, dans l’industrie automobile lors de l’analyse de la durabilité d’éléments de suspension, de transmissions, etc., où les charges varient selon plusieurs axes et où une durée de vie illimitée du composant est exigée, avec une marge de sécurité appropriée.
• Règle de Palmgren-Miner (cumul des dommages) – Lorsqu’un élément de structure est soumis à des amplitudes de charge variables (ce que l’on appelle un spectre de chargement), une seule courbe S-N ne suffit pas : le matériau subit des dommages dus à des cycles de niveaux différents. La règle de Miner est une hypothèse simple et largement utilisée de cumul linéaire des dommages de fatigue. Selon cette approche, chaque cycle d’une amplitude donnée consomme une certaine fraction de la « durée de vie » du matériau. Malgré ses simplifications, cette méthode est très utilisée en ingénierie (automobile, aéronautique, structures offshore) pour une estimation de la tenue en fatigue sous des chargements variables complexes. Elle permet, par exemple, de ramener l’effet de milliers de chargements mesurés sur un chantier à un indicateur simple d’épuisement de la durée de vie en fatigue de l’élément.

Déroulement de l’analyse de fatigue étape par étape

Analyse de fatigue par MEF est un processus structuré qui, étape par étape, permet d’évaluer la durabilité d’une structure et d’identifier les zones critiques. Ci-dessous, nous présentons une séquence d’actions typique :

1. Définition du problème et du modèle MEF : L’ingénieur définit la géométrie de la pièce ainsi que les cas de charge qui représentent au mieux les conditions réelles d’exploitation. À ce stade, on détermine quels types de charges cycliques seront analysés (p. ex. charges sinusoïdales, vibrations aléatoires, cycles marche/arrêt de l’équipement, etc.). On prépare le modèle de la pièce en méthode des éléments finis – le maillage MEF, les propriétés des matériaux (élastiques, plastiques) ainsi que les conditions aux limites et les charges correspondant à des cycles de fonctionnement répétitifs.
2. Calculs EF pour des charges cycliques : Des simulations EF (le plus souvent des analyses statiques ou dynamiques) sont réalisées afin de déterminer les contraintes et les déformations sous les charges imposées. Dans un cas simple, il peut s’agir d’un seul cycle de charge (p. ex. la flexion maximale d’une poutre) ; dans des cas plus complexes, d’une série de plusieurs cas représentant différentes phases du cycle ou différents scénarios de chargement. Si un historique de charge issu de mesures est disponible (p. ex. des enregistrements extensométriques dans le temps), on applique des techniques d’extraction de cycles telles que l’algorithme Rainflow afin de réduire un signal de charge variable à un ensemble de blocs de cycles avec des amplitudes et des valeurs moyennes définies.
3. Identification des zones fortement sollicitées : Dès l’analyse des contraintes par MEF, on peut repérer les zones présentant les contraintes les plus élevées ou les plus fortes concentrations de contraintes (p. ex. au niveau des entailles, des trous, des entailles au droit des soudures, etc.). C’est là que se produira probablement l’amorçage d’une fissure de fatigue. Dans une analyse de fatigue, ces emplacements sont particulièrement importants – on définit souvent des hot-spots de fatigue, c’est-à-dire des points pour lesquels la durée de vie sera calculée. Le logiciel MEF peut détecter automatiquement les éléments ayant le plus mauvais coefficient de contraintes alternées, ou l’ingénieur les sélectionne sur la base des résultats et de son expérience.
4. Sélection du modèle de fatigue et des données matériau : À l’étape suivante, il faut fournir des données sur la résistance à la fatigue du matériau. On choisit la courbe S-N appropriée pour le matériau (avec le coefficient de sécurité requis, la probabilité de survie – p. ex. 97,7% – ainsi que pour la plage de R correspondante, c’est-à-dire le rapport des contraintes min/max). Si des déformations plastiques sont prévues, on utilise des courbes ε-N à la place des S-N (paramètres de Coffin-Manson pour le matériau). Ces données peuvent provenir de normes sectorielles, des résultats d’essais du fabricant du matériau ou de bases de données de fatigue. Il est également indispensable de préciser si l’on applique une correction liée à la contrainte moyenne : on introduit, par exemple, le paramètre de contrainte moyenne pour un cycle donné ou l’on adopte de manière conservative le diagramme de Goodman (ce qui, en pratique, revient à réduire l’amplitude admissible des contraintes alternées à mesure que la contrainte moyenne augmente). Si nécessaire, on prend en compte des corrections liées au facteur de sensibilité aux entailles et à l’état de surface, en particulier lorsque les données S-N proviennent d’essais en laboratoire sur des éprouvettes lisses, alors que la pièce réelle présente une surface rugueuse ou des assemblages soudés.
5. Calcul de la durée de vie ou de l’endommagement : Disposant de la répartition des contraintes issue du scénario de chargement ainsi que des données matériau, on passe à la phase de prédiction de la durée de vie proprement dite. Pour chaque point pertinent (p. ex. un élément du maillage MEF dans un hot-spot), on calcule sa durée de vie en fatigue. Si l’on a un cycle de chargement unique et dominant, on lit sur la courbe S-N le nombre de cycles jusqu’à rupture pour une amplitude égale à la contrainte en ce point (et la contrainte moyenne). Souvent, toutefois, on a plusieurs niveaux de chargement différents ; on applique alors le cumul de Miner décrit plus haut. Le résultat d’une analyse de fatigue est aussi fréquemment un coefficient de sécurité : une marge multiplicative par rapport au nombre de cycles supposé, ou le nombre minimal de cycles divisé par le nombre de cycles requis. Dans le cas de critères tels que Dang Van, le résultat est donné directement sous forme de coefficient de sécurité pour une durée de vie infinie (p. ex. une indication permettant de savoir si la zone considérée supportera les 10^6 cycles requis avec une marge de 1.5, ou non).
6. Localisation et évaluation des fissures : La dernière étape consiste à interpréter les résultats. L’analyse met en évidence des zones précises de la structure présentant la durabilité la plus faible (ou le niveau d’endommagement le plus élevé). C’est là que peut débuter le plus tôt l’amorçage d’une fissure de fatigue. En général, les rapports présentent des cartes de contours sur le modèle MES montrant la répartition du nombre de cycles jusqu’à la rupture prévu ou les valeurs du coefficient de sécurité en fatigue. L’ingénieur se concentre sur les éléments qui affichent les valeurs les plus critiques. Si la durée de vie de la structure minimale prévue ne répond pas aux hypothèses (p. ex., le composant doit tenir 1 million de cycles et l’analyse indique une fissure après 200 milliers), il convient de proposer des modifications de conception : modification de la géométrie (arrondir les entailles, augmenter la section), remplacement du matériau par un matériau plus résistant à la fatigue, amélioration de l’état de surface ou mise en œuvre de procédés de durcissement (p. ex., grenaillage), afin d’allonger la durée de vie.
7. Vérification et essais du prototype : Même si l’analyse de fatigue par éléments finis (MEF) fournit des prévisions précieuses, la meilleure pratique consiste à confirmer ses résultats par des essais sur prototype. On réalise souvent des essais de fatigue sur des composants clés ou sur des sous-ensembles complets (p. ex., un chargement cyclique de plusieurs millions de cycles de la suspension d’une voiture sur un banc d’essai) et on les compare aux prévisions de la simulation. Cela permet de calibrer le modèle, et les données expérimentales obtenues aident à mieux ajuster le modèle de matériau (p. ex., en affinant les courbes S-N pour le matériau réel après soudage ou usinage). Cette boucle de vérification fait que le produit final présente une durabilité en fatigue confirmée à la fois par simulation et expérimentation, ce qui renforce la confiance dans sa sécurité.

Application de l’analyse de fatigue dans différents secteurs

Les analyses de fatigue sont aujourd’hui la norme dans de nombreux secteurs industriels, de l’automobile à l’énergie. Partout où les composants sont soumis à des charges répétées, les ingénieurs s’appuient sur des simulations de fatigue afin de garantir une durabilité suffisante et de prévenir les défaillances. Ci-dessous, quelques exemples d’applications selon les secteurs :

• Automobile : Les structures des véhicules doivent résister à des centaines de milliers de kilomètres de vibrations, de chocs et de variations de charge. L’analyse de fatigue est utilisée lors de la conception des châssis porteurs, des éléments de suspension, des carrosseries, des essieux, des jantes, et même de certains composants des moteurs. Par exemple, un bras de suspension subit des cycles de flexion continus au passage des irrégularités de la route – la simulation de fatigue permet d’évaluer s’il ne se fissurera pas après un nombre donné de cycles de torsion. Dans les moteurs, les vilebrequins et les bielles sont étudiés au regard de la fatigue du matériau due à des millions de cycles de combustion. Les constructeurs automobiles utilisent à la fois des calculs par éléments finis (MEF) et des essais sur banc (dits durability testing) afin de s’assurer que, par exemple, le châssis du véhicule ne présentera pas de fissures de fatigue pendant toute la durée d’exploitation. Les analyses de fatigue permettent également d’optimiser la masse des composants – en éliminant le surdimensionnement là où une section plus faible satisfait malgré tout aux exigences de durabilité, ce qui se traduit par des véhicules plus légers et plus économes.
• Lotnictwo: Le secteur aéronautique, depuis les accidents tragiques des avions à réaction De Havilland Comet dans les années 50 (dus à des fissures de fatigue du revêtement autour des hublots), accorde une importance majeure à la fatigue des matériaux. Chaque avion de transport de passagers possède une durée de vie en fatigue définie en cycles décollage-atterrissage ainsi qu’en cycles de pressurisation du fuselage. Les analyses de résistance des structures aéronautiques comportent toujours un chapitre consacré à la fatigue – par exemple, des calculs indiquant après combien de cycles de pressurisation une fissure apparaîtra dans le revêtement, ou à quel moment un élément du train d’atterrissage peut nécessiter un remplacement. On applique les philosophies fail-safe et damage-tolerance, c’est-à-dire que l’on suppose l’existence de fissures et que l’on conçoit les éléments de sorte que la défaillance ne soit ni soudaine ni catastrophique (p. ex., longerons doubles dans les ailes, inspections régulières par contrôle non destructif des zones critiques). La simulation de la durée de vie en fatigue permet de définir les intervalles entre inspections – par exemple, prévoir qu’après 5000 cycles de vol, il faut effectuer l’inspection d’un nœud donné du train d’atterrissage. Grâce à cela, l’aéronautique maintient un haut niveau de sécurité et les éléments de structure des avions sont exploités de manière optimale (ils ne sont remplacés ni trop tôt ni trop tard).
• Machines industrielles et structures d’ingénierie : Dans l’industrie lourde, de nombreux équipements fonctionnent de manière cyclique – les presses de forge exercent une pression des milliers de fois, les ponts roulants soulèvent et abaissent des charges à répétition, les ponts et les grues sont soumis à des sollicitations cycliques dues au passage des véhicules ou au vent. Les analyses de fatigue sont utilisées, par exemple, pour les flèches de grues (évaluation de la durée de vie des soudures aux endroits où les moments de flexion sont les plus élevés), les tambours de treuil (nombre de cycles d’enroulement du câble jusqu’à rupture) ou les structures en acier des immeubles de grande hauteur (le balancement sous l’effet du vent provoque des milliards de cycles de contraintes dans les éléments de la structure). En génie civil également, on étudie la fatigue – par exemple, les ponts routiers doivent résister à des centaines de milliers de passages de camions. Les normes (p. ex. Eurocode) exigent de réaliser des analyses de fatigue pour les ponts, en considérant le trafic routier comme une série de cycles de charge. Dans les machines tournantes, telles que les turbines ou les générateurs, la fatigue est aussi déterminante – les aubages d’une turbine à vapeur subissent des variations périodiques de force dues à l’écoulement de la vapeur, les arbres de générateurs sont soumis à des vibrations de torsion. Chacun de ces éléments est sensible aux fissures de fatigue ; c’est pourquoi, dès la phase de conception des structures mécaniques, les ingénieurs analysent ces phénomènes afin de prévenir une défaillance en cours d’exploitation.
• Énergie : Dans le secteur de l’énergie, en particulier dans les sources d’énergie renouvelables et les centrales, les problématiques de fatigue jouent un rôle majeur. Par exemple, les éoliennes sont soumises à des charges variables continues dues au vent – les pales du rotor se fléchissent à chaque rotation et à chaque rafale, ce qui représente des millions de cycles de contraintes sur 20-30 ans de fonctionnement de la turbine. L’analyse de fatigue permet de prévoir si, par exemple, après 10^7 cycles, une fissure n’apparaîtra pas dans une zone critique de la pale (à l’emplanture) ; sur cette base, on définit la durée de vie de conception de la turbine et on planifie les inspections périodiques des pales. Dans l’énergie thermique classique, on rencontre à l’inverse le problème de la fatigue thermique à faible nombre de cycles – par exemple, les tuyauteries et les chaudières subissent des contraintes à chaque montée en température et à chaque refroidissement de l’installation. Le nombre de cycles complets de démarrage/arrêt d’une centrale est limité précisément par la résistance à la fatigue du matériau (les analyses MEF déterminent combien de cycles thermiques de ce type un tube de chaudière peut supporter avant de se fissurer). Dans les centrales nucléaires également, des analyses de résistance au regard de la fatigue des éléments des circuits de refroidissement et sous pression sont obligatoires. Les simulations de fatigue indiquent les emplacements de fissuration potentielle (p. ex. emplantures de buses, soudures rapportées, coudes de tuyauterie) et permettent de planifier des inspections NDT de ces zones lors des arrêts de maintenance, avant qu’une fissure critique ne se développe. En résumé, dans le secteur de l’énergie, l’analyse de fatigue est un outil qui garantit à la fois la fiabilité de l’approvisionnement en énergie et la sécurité des infrastructures.

En résumé, l’analyse de fatigue est un outil puissant entre les mains de l’ingénieur mécanicien. Elle complète les calculs MEF traditionnels en y ajoutant la dimension du temps et de la durabilité, offrant une vision plus complète de la sécurité de la structure. À l’heure où les exigences en matière de fiabilité des produits augmentent, où la concurrence sur le marché s’intensifie et où la responsabilité vis-à-vis de l’utilisateur est accrue, la capacité à prévoir le comportement en fatigue devient essentielle. Investir dans une analyse de fatigue rigoureuse dès la phase de conception porte ses fruits à de multiples reprises pendant l’exploitation – par un fonctionnement sans panne, des coûts de maintenance réduits et la satisfaction des utilisateurs, qui bénéficient d’un produit à longue durée de vie. Il est donc pertinent d’intégrer dès le lancement des projets les analyses de fatigue comme un élément standard de l’ingénierie de conception des structures mécaniques, au même titre que les analyses statiques ou thermiques. Une telle approche holistique garantit que nos structures seront non seulement résistantes sur le papier, mais aussi durables dans le monde réel.