Modalanalyse

Moderne konstruktion af mekaniske konstruktioner kræver ikke kun en klassisk styrkeanalyse af komponenter, men også at man tager højde for dynamiske fænomener. Vibrationer kan føre til havari, materialetræthed eller for høj støj – derfor bruger ingeniører FEM-beregninger som modalanalyse for allerede i designfasen at identificere potentielle problemer med konstruktionens vibrationer og sikre dens sikkerhed. Kendte hændelser har vist, at det kan få alvorlige konsekvenser at ignorere dynamik – et klassisk eksempel er sammenstyrtningen af Tacoma Narrows-broen i 1940 som følge af vindinduceret resonans. I denne artikel forklarer vi, hvad en FEM-modalanalyse går ud på, hvilke oplysninger den giver konstruktøren, og hvordan den kan bruges til at designe vibrationsrobuste konstruktioner. Vi gennemgår trinene i en sådan analyse, fortæller hvornår og hvorfor den er relevant, beskriver sammenhængen med analyser af tvungne (harmoniske) vibrationer, akustik og modale tests, og illustrerer moderne anvendelser af metoden i forskellige brancher – fra maskinindustri og automotive til energi og elektronik.

Hvad er en modalanalyse, og hvad giver den ingeniøren?

Modalanalyse er en simulering af konstruktionens egenvibrationer, som gør det muligt at bestemme dens egensvingningsfrekvenser (naturlige frekvenser) samt svingningsformer (mode shapes). Sagt mere enkelt besvarer den to centrale spørgsmål: ved hvilke frekvenser vil konstruktionen gå i resonans, og hvilke former vil den antage under disse vibrationer. Det er vigtigt at understrege, at modalanalyse ikke direkte oplyser størrelsen af forskydninger eller spændinger under konkrete belastninger – den leverer kun data om karakteristiske frekvenser og svingningsformer, hvor resonans kan opstå. For ingeniøren er det særdeles værdifuld viden: den gør det muligt at forudse potentielle vibrationsproblemer og vurdere, om en given konstruktion har tendens til resonans under typiske påvirkninger (fx motorens drift, vind, køretøjers bevægelse osv.).

Egenfrekvenser er de karakteristiske frekvenser, hvor et system “helst” vibrerer. Kender man dem, kan man designe konstruktioner, så de ikke falder sammen med ydre excitationer (fx en maskines omdrejningsfrekvens, vindstød eller jordvibrationer under et jordskælv). Svingningsformer viser derimod deformationsmønstre – altså hvilke dele af konstruktionen der forskydes, og på hvilken måde, ved en given egenfrekvens. Ved at analysere svingningsformer kan ingeniøren identificere konstruktionens kritiske områder, som er mest følsomme over for vibrationer, og iværksætte tiltag for at gøre dem stivere eller dæmpe dem. Det tredje nøglebegreb er dæmpning – mekanismen, der spreder vibrationsenergi. Selvom en standard FEM-modalanalyse ofte antager udæmpede vibrationer (dæmpning = 0), kan ingeniøren medtage materiale- eller strukturdæmpning for at estimere, hvor hurtigt vibrationerne vil aftage. Et passende dæmpningsniveau hjælper med at begrænse vibrationsamplituder og forebygge langvarige svingninger.

Sammenfattende giver modalanalyse konstruktøren en konstruktionens “dynamiske signatur” – et sæt egenfrekvenser og de tilhørende svingningsformer. På den baggrund kan man vurdere konstruktionens følsomhed over for resonans og sikre, at den designede maskine eller det tekniske anlæg er sikkert og effektivt i drift. Det er fundamentet for videre dynamiske analyser og sikrer, at designet lever op til kravene på vibrationsområdet.

Hvordan gennemføres en FEM-modalanalyse?

En typisk FEM-modalanalyse består af flere trin, som udføres ved hjælp af software til Finite Element Method (FEM). Nedenfor beskriver vi de vigtigste faser i en sådan analyse:

1. Klargøring af modellen: geometri, net og randbetingelser. Først opbygges en FEM-model af den analyserede konstruktion – den repræsenterer geometrien af komponenten eller samlingen, materialeegenskaber (densitet, Youngs modul osv.) samt randbetingelser (understøtning, fastgørelse osv.). Det er vigtigt at diskretisere geometrien korrekt (meshing) i endelige elementer og at definere forbindelserne mellem dele hensigtsmæssigt. I denne fase sikrer ingeniøren modelkvaliteten – en korrekt repræsentation af den virkelige konstruktion, da resultaternes troværdighed afhænger af dette. En god model betyder et passende fortættet net i kritiske områder, korrekte materialeegenskaber samt alle væsentlige randbetingelser (fx bolteforbindelser, understøtninger) modelleret så tæt på virkeligheden som muligt. Det er også værd at sikre, at modellen ikke har “slør” – dårligt forbundne eller ikke understøttede dele kan i modalanalysen vise sig som kunstige tilstande med nul frekvens (såkaldt fri bevægelse af ikke-forbundne dele). En kontrol af, om de første egenformer svarer til forventede stive bevægelser af hele konstruktionen (fx 6 stive frihedsgrader for et frit legeme i rummet), gør det muligt at verificere, at understøtninger og forbindelser er defineret korrekt.

2. Løsning af egenværdiproblemet (modal-solveren). Hovedopgaven i en modal analyse er at løse egenværdiproblemet for konstruktionens bevægelsesligninger. Et FEM-program genererer på baggrund af modellen en global massematrix samt konstruktionens stivhedsmatrix og løser derefter egenligningen af formen (K – λ M) φ = 0, hvor løsningerne er par: egenværdier λ (knyttet til egenvinkelfrekvenserne ω, typisk λ = ω²) samt de tilhørende egenvektorer φ (som beskriver svingningsformerne). I praksis leverer solvereren en liste over beregnede egenfrekvenser (fx fra den laveste og opefter) samt et sæt forskydningsvektorer for hver mode (som kan visualiseres som svingningsformen). Ingeniøren angiver normalt på forhånd, hvor mange moder (svingningsformer) der skal bestemmes, eller op til hvilken maksimal frekvens beregningerne skal udføres. Typisk beregner man de første par dusin moder (fx 6–20) eller alle moder i det frekvensområde, der er relevant set i forhold til driften. Dermed fokuserer analysen på de egenvibrationer, som kan falde inden for det påvirkningsområde, der virker på konstruktionen.

3. Fortolkning af resultater: frekvenser og svingningsformer. Efter beregningerne får ingeniøren et sæt resultater, som skal fortolkes. Første skridt er at gennemgå egenfrekvenserne – der lægges særlig vægt på de laveste egenfrekvenser (fordi den laveste mode ofte er lettest at excitere og typisk giver de største amplituder ved påvirkning). De beregnede frekvenser sammenholdes med de potentielle excitationsfrekvenser, som konstruktionen vil blive udsat for under drift. Hvis en egenfrekvens ligger tæt på en driftsfrekvens (fx maskinens omdrejningshastighed, hjulfrekvenser i et køretøj, pulseringen i elnettet eller den dominerende komponent i underlagets vibrationer), er det et advarselssignal – risiko for resonans. Andet skridt er analyse af egen-svingningsformerne. Ved at se på deformationerne for de efterfølgende moder kan ingeniøren vurdere, hvilke dele af konstruktionen der bevæger sig mest i den pågældende mode – fx om der er tale om global bøjning, en lokal vibration i en beklædningsplade, eller vibration af en delkomponent. Denne viden peger på, hvor konstruktionen er for eftergivelig eller særligt vibrationsfølsom. For eksempel kan svingningsformen afsløre, at en bestemt bjælke bøjer ud til siden – hvilket indikerer behov for at tilføje tværgående afstivninger. Eller at en tung komponent vibrerer uafhængigt af resten – hvilket kan betyde utilstrækkelig fastgørelse.

Resultaterne af den modale analyse – et sæt egenfrekvenser og svingningsformer – bruges derefter som grundlag for designbeslutninger. Hvis en egenmode er potentielt kritisk (fx fordi frekvensen falder sammen med en excitation, eller fordi man ser store deformationer i kritiske elementer), kan konstruktøren ændre konstruktionen inden den bygges. Øget stivhed (fx via tykkere tværsnit, afstivningsribber), ændring af masse (tilføjelse af vægte, ændring af materiale) eller anvendelse af vibrationsdæmpere er typiske måder at flytte egenfrekvenserne eller reducere vibrationsamplituderne. Ofte gentages den modale analyse iterativt efter ændringerne for at bekræfte, at forbedringerne virker. På den måde bliver modal analyse en integreret del af designcyklussen – allerede i den virtuelle fase eliminerer vi svage punkter og sikrer en passende sikkerhedsmargin i konstruktionens dynamiske adfærd.

Hvornår og hvorfor anvendes modal analyse?

Det er en god idé at gennemføre en modal analyse, hver gang en konstruktion kan blive udsat for vibrationer under drift, eller når konsekvenserne af en eventuel resonans kan være alvorlige. I praksis gælder det de fleste ingeniørprojekter – fra maskiner med roterende dele til køretøjer og elektronisk udstyr. Her er de vigtigste grunde og situationer, hvor modal analyse er uundværlig:

• Undgå resonans og havari: Hovedformålet er at identificere de frekvenser, hvor konstruktionen kan gå i resonans, og at sikre, at sådanne sammenfald ikke opstår under normale driftsforhold. Resonans medfører en kraftig stigning i vibrationsamplituden – selv små periodiske kræfter kan da give store forskydninger og spændinger. Det er en direkte vej til skader, udmattelsesrevner og i yderste konsekvens til ødelæggelse af udstyr eller konstruktion. Med en modal analyse kan vi i god tid omkonstruere løsningen eller ændre maskinens driftsparametre, så vi undgår farlige resonansforhold. Hvis vi f.eks. ved, at en given maskine har en egenfrekvens omkring ~50 Hz, kan vi designe drivsystemet, så det ikke påtvinger vibrationer ved denne frekvens, eller tilføje dæmpere, hvis 50 Hz ikke kan undgås.
• Forbedring af holdbarhed og driftssikkerhed: Selv hvis resonans ikke straks fører til en katastrofe, kan vedvarende vibrationer give accelereret slid på komponenter (opslækning af samlinger, materialetræthed, lejeskader osv.). Modal analyse gør det muligt at identificere potentielt problematiske svingningsformer og optimere konstruktionen, så uønskede vibrationer under drift reduceres. Et robust produkt er ikke kun et, der kan bære statiske belastninger, men også et, der ikke vibrerer for meget under dynamiske belastninger. Produktionsvirksomheder kræver ofte, at deres produkter gennemgår strenge vibrationstests, før de kommer på markedet – modal simulering og beslægtede analyser hjælper med at sikre, at konstruktionen kan bestå disse tests uden skader.
• Komfort og støj (aspekter af NVH): I brancher som bilindustrien og forbrugerelektronik handler det ikke kun om, at produktet “ikke falder fra hinanden”, men også om, at det fungerer stille og komfortabelt for brugeren. Konstruktionens vibrationer omsættes ofte til støj – f.eks. kan en vibrerende karrosseri give brummen i kabinen, og i hvidevarer kan resonans i pladedele give summen eller raslen. Modal analyse gør det muligt at designe konstruktionen, så kritiske vibrationsfrekvenser ligger uden for det frekvensområde, som mennesker kan høre eller mærke. Dermed kan man reducere støj og vibrationer, som brugerne oplever, og løfte produktkvaliteten. Mange virksomheder bruger betegnelsen NVH (Noise, Vibration, Harshness) om problemstillinger knyttet til støj og vibrationer – og modal simulering er et grundlæggende værktøj i arbejdet med at bekæmpe disse fænomener. Bilproducenter analyserer f.eks. karrosseriets svingningsformer for at undgå frekvenser, der giver kabinebrummen ved motorens drift. Øget stivhed i pladefelter eller tilføjelse af dæmpning i områder, der bidrager til såkaldt strukturbåren støj, kan forbedre køretøjets akustiske komfort markant.
• Krav fra standarder og designprocedurer: I nogle brancher er modal analyse ligefrem påkrævet af standarder eller konstruktionsretningslinjer. I den tidligere nævnte olie- og gasbranche stiller standarden API 610 eksempelvis krav til adskillelse mellem egenfrekvenser og pumpernes omdrejningshastigheder.

Sammenfattende anvendes modal analyse forebyggende i designfasen – for at forhindre problemer, før de opstår – og diagnostisk for eksisterende konstruktioner – for at løse gåder om for store vibrationer eller støj ved at ændre konstruktionen. Det er et universelt ingeniørværktøj, der hjælper med at løse vibrationsproblemer i alle faser af et produkts eller et anlægs levetid. Resultatet er en mere sikker, mere holdbar og ofte bedre gennemarbejdet konstruktion.

Modal analyse og tvungne vibrationer, harmonisk analyse og akustik

Selve den modale analyse giver information om konstruktionens dynamiske egenskaber, men for at vurdere den reelle vibrationsrespons fuldt ud udfører man ofte supplerende analyser, der bygger på de modale resultater. Naturlige udvidelser er harmonisk analyse (frekvensrespons på sinusformet excitation), simuleringer af tvungne vibrationer i tidsdomænet samt akustiske analyser. Nedenfor gennemgår vi, hvordan modal analyse hænger sammen med disse emner:

Harmonisk analyse og tvungne vibrationer

Når egenfrekvenser og svingningsformer er bestemt, er næste skridt ofte at undersøge, hvordan konstruktionen opfører sig under en konkret dynamisk excitation. Den modale analyse har f.eks. vist, at konstruktionen har en kritisk egenform ved 80 Hz – men vil den i praksis blive beskadiget, hvis der faktisk opstår vibrationer ved denne frekvens? Harmonisk analyse besvarer dette spørgsmål ved at simulere konstruktionens respons på sinusformede excitationer med varierende frekvens. Den udnytter samtidig de modale resultater – de fleste FEA-solvere anvender såkaldt modal superposition, dvs. at bidragene fra de enkelte egenmodi summeres til den tvungne respons. Med andre ord: Før vi udfører en harmonisk analyse (eller generelt en dynamisk analyse af excitationer), skal vi kende systemets modale parametre. Den modale basis gør det muligt at beregne responsen effektivt for mange frekvenser.

I praksis går en harmonisk analyse f.eks. ud på at påføre FEM-modellen en sinusformet kraft med en given amplitude og frekvens, iterativt for efterfølgende frekvenser inden for et bestemt interval (et såkaldt frekvens-sweep). Resultatet er en frekvensafhængig responskurve – f.eks. forskydnings- eller spændingsamplituder som funktion af exciteringsfrekvensen. Dermed kan man identificere resonansfrekvenser (der hvor amplitudekurven har en top) og vurdere vibrationsniveauet ved og uden for resonans. Hvis en resonans ligger tæt på driftsfrekvensen, og de simulerede spændinger overskrider materialets udmattelsesgrænse, kræver konstruktionen ændringer eller anvendelse af dæmpning, fordi der på længere sigt er risiko for revnedannelse. Et sådant scenarie opstår, når man ikke let kan flytte egenfrekvensen (f.eks. på grund af designbegrænsninger) – så gør simulering af tvungne vibrationer det muligt at estimere den reelle risiko. I et af de beskrevne tilfælde, hvor egenfrekvensen kom faretruende tæt på excitationen, gennemførte ingeniørerne en harmonisk analyse med påførte periodiske kræfter og sammenlignede de opnåede spændinger med materialets udmattelsesstyrke; på den baggrund vurderede de, at vibrationerne ikke vil forårsage revner, trods resonans, fordi amplituden er relativt lille. Det er naturligvis en undtagelse – som regel forsøger vi at designe væk fra resonans, så man helt undgår risikoen for drift i dette punkt.

Det skal tilføjes, at harmonisk analyse kun er én type analyse af tvungne vibrationer. Andre er f.eks. transientanalyse (impuls- eller generelt ikke-periodisk excitation i tidsdomænet) eller spektralanalyse (f.eks. tilfældige vibrationer med et givet frekvensspektrum). I alle disse tilfælde er modalanalyse udgangspunktet – egenformer danner grundlaget for at beregne den dynamiske respons på en vilkårlig excitation. Uden systemets modale karakteristik ville det være umuligt effektivt at forudsige konstruktionens opførsel under dynamisk belastning. Man kan derfor sige, at modalanalyse leverer de oplysninger, der er nødvendige for den videre simulering af vibrationer af konstruktionen under reelle forhold.

Sammenhæng med akustik (støj og vibrationer)

Som nævnt går strukturvibrationer ofte hånd i hånd med støj. Vibrerende komponenter udsender lydbølger (strukturlyd), og derudover kan selve de akustiske bølger i lukkede rum (f.eks. et køretøjs kabine, et kabinet til elektronisk udstyr) danne egne akustiske moder – dvs. luftresonanser indvendigt. Modalanalyse har stor betydning i akustisk design og NVH. For det første gør kendskab til konstruktionens svingningsformer det muligt at identificere de vibrationer, der medfører uønsket lydudstråling. Ingeniører kan derefter ændre konstruktionen for at reducere amplituderne af sådanne vibrationer (f.eks. ved at tilføje afstivninger) og dermed reducere støjen. I et af bilprojekterne analyserede man eksempelvis karrosseriets moder og konstaterede, at en lav svingningsform i taget gav en buldrende lyd, som passagererne kunne høre. Ved at tilføje ekstra afstivning af taget hævede man denne modens frekvens og dæmpede vibrationerne, hvilket effektivt sænkede støjniveauet i kabinen og forbedrede køretøjets NVH-egenskaber. Det viser, at kontrol af vibrationer via modalanalyse giver mere støjsvag og mere behagelig drift af udstyr.

For det andet kan resultaterne af modalanalysen bruges til koblede vibroakustiske simuleringer. Når man kender konstruktionens egenformer, kan man gennemføre en analyse, hvor den akustiske model (f.eks. luften i en bilkabine eller et kabinet) exciteres af konstruktionens vibrationer med netop disse former og frekvenser. Det gør det muligt at forudsige de lydtrykniveauer, som de enkelte moder genererer, og at afgøre, hvilke der er mest generende. Denne type tilgang anvendes f.eks. i bilindustrien, hvor man simulerer koblingen mellem karrosserivibrationer og kabineakustik for at lokalisere kilder til lavfrekvent støj og finde afhjælpende tiltag. Overordnet set udgør modalanalyse en bro mellem konstruktions- og akustikingeniørfagene i vibrationskonteksten – den hjælper med at designe en konstruktion, så den ikke blot er stærk, men heller ikke genererer ubehagelig støj.

Modale tests og eksperimentel verifikation

Det er værd at understrege, at selv om modal analyse i FEM er et stærkt værktøj til at forudsige en konstruktions opførsel, bør man altid tilstræbe at verificere simuleringen med et eksperiment. Til dette formål anvendes modale tests, også kaldet eksperimentel modal analyse (EMA). De går ud på at excitere konstruktionen fysisk til vibrationer og måle dens respons for på den baggrund at bestemme de reelle egenfrekvenser, svingningsformer og dæmpningskoefficienter. I praksis bruger man hertil f.eks. en modalhammer (en håndhammer med indbygget kraftsensor, som man slår på konstruktionen med) eller en vibrations-eksiter (en elektromagnetisk shaker, der kobles på konstruktionen) samt et sæt accelerationssensorer (accelerometre) placeret på konstruktionen. Slaget eller en sinusformet excitation indfører en kendt kraft, og sensorerne registrerer de tilsvarende accelerationer/deformationer. På den baggrund bestemmes respons-spektre og de frekvenser, hvor responssignalet er størst – det er netop egenfrekvenserne. Sensorernes relative udsving giver svingningsformen, mens bredden af resonanspeaks i spektret giver information om dæmpningen.

De modale parametre, der opnås ved målinger, kan derefter sammenlignes med resultaterne fra FEM-simuleringen. En sådan korrelation EMA vs. FEM gør det muligt at vurdere nøjagtigheden af den numeriske model og om nødvendigt korrigere visse antagelser (f.eks. samlingers stivhed, værdier for materialets Youngs modul osv.). Ingeniører bruger her ofte indikatorer som MAC (Modal Assurance Criterion), der numerisk angiver ligheden mellem den målte og den beregnede svingningsform. Hvis korrelationen er svag (lav MAC eller store forskelle i frekvenser), går man tilbage til FEM-modellen og leder efter årsagerne til afvigelserne – for eksempel en undervurderet indspænding, en overset massekomponent osv. På den måde kan en iterativt forfinet model med stor sikkerhed bruges til prædiktive analyser. Desuden muliggør moderne FEM-software automatisk modelopdatering baseret på resultaterne fra modale tests – optimeringsalgoritmer tilpasser modelparametrene, så der opnås overensstemmelse med eksperimentet.

Modale tests bruges også, når man endnu ikke råder over en præcis model, eller når man undersøger et eksisterende objekt (f.eks. en maskinprototype, en konstruktion på et anlæg). Under industrielle forhold udføres de for at diagnosticere vibrationsproblemer i maskiner samt verificere, at designet er korrekt. For eksempel kan en producent kræve, at maskinleverandøren fremlægger resultaterne af en modal test af rammen for at bekræfte, at dens egenfrekvenser stemmer overens med deklarationerne fra FEM-analysen. Hvis ikke, kan det indikere en fejl i udførelsen eller i modelleringen. Samlet set er eksperimentel modal analyse et vigtigt supplement til simuleringer – den opbygger tillid til resultaterne og sikrer, at vores vibrationssimuleringer faktisk afspejler den virkelige konstruktions opførsel.

Takket være modal analyse kan ingeniører på tværs af specialer – fra maskiningeniører over arkitekter til elektroingeniører – udvikle sikrere, mere holdbare og mere støjsvage produkter og anlæg. I en tid med virtuelle simuleringer sparer værktøjet tid og omkostninger ved at identificere vibrationsproblemer på computerskærmen frem for via trial-and-error på prototyper. Man kan roligt sige, at modal analyse i moderne konstruktion af mekaniske konstruktioner og ikke kun dér er blevet en standard for god ingeniørpraksis – en garanti for, at konstruktionen kan håndtere den virkelige verdens dynamiske udfordringer og samtidig forblive stabil og driftssikker. Dermed omsættes FEM-beregninger direkte til design af mekaniske konstruktioner med et højere niveau af sikkerhed og kvalitet, hvilket i sidste ende gavner både producenter og slutbrugere. I ingeniørfagets dynamiske verden er et modalt blik på konstruktionen grundlæggende for at være på forkant med vibrationer, før de overrasker os.