Modanalys

Modern konstruktion av mekaniska konstruktioner kräver inte bara en traditionell hållfasthetsanalys av komponenter, utan också att dynamiska fenomen beaktas. Vibrationer kan leda till haverier, materialutmattning eller för höga ljudnivåer – därför använder ingenjörer FEM-beräkningar såsom modalanalys för att redan i konstruktionsskedet identifiera potentiella problem med konstruktionens vibrationer och säkerställa dess säkerhet. Uppmärksammade händelser har visat att det kan få katastrofala följder att bortse från dynamiken – ett klassiskt exempel är kollapsen av Tacoma Narrows-bron 1940 till följd av resonans orsakad av vind. I den här artikeln förklarar vi vad en FEM-baserad modalanalys innebär, vilken information den ger konstruktören och hur den kan användas för att utforma vibrationsresistenta konstruktioner. Vi presenterar stegen i en sådan analys, beskriver när och varför den är värd att använda, går igenom kopplingen till analyser av påtvingade (harmoniska) vibrationer, akustik och modala tester samt illustrerar moderna tillämpningar av metoden i olika branscher – från maskinindustri och fordonsindustri till energisektorn och elektronik.

Vad är modalanalys och vad ger den ingenjören?

Modalanalys är en simulering av konstruktionens egenvibrationer som gör det möjligt att bestämma dess egensvängningsfrekvenser (naturliga frekvenser) samt svängningsformer (mode shapes). Enklare uttryckt besvarar den två nyckelfrågor: vid vilka frekvenser konstruktionen kommer att resonera och vilka former den antar under dessa svängningar. Det är viktigt att betona att en modalanalys inte direkt anger storleken på förskjutningar eller spänningar under specifika laster – den ger endast data om karakteristiska frekvenser och svängningsformer där resonans kan uppstå. För en ingenjör är detta mycket viktig information: den gör det möjligt att förutse potentiella vibrationsproblem och bedöma om en viss konstruktion riskerar att få resonansbenägenhet under typiska excitationer (t.ex. motordrift, vind, fordonsrörelser etc.).

Egenfrekvenser är de karakteristiska frekvenser vid vilka ett system “helst” vibrerar. Genom att känna till dem kan vi utforma konstruktioner så att de inte sammanfaller med yttre excitationer (t.ex. maskinens rotationsfrekvens, vindbyar eller markvibrationer vid en jordbävning). Svängningsformer visar i sin tur deformationsmönster – alltså vilka delar av konstruktionen som, och på vilket sätt, förskjuts vid en viss egenfrekvens. Genom att analysera svängningsformer kan ingenjören identifiera konstruktionens kritiska områden, som är mest känsliga för vibrationer, och vidta åtgärder för att styva upp dem eller dämpa dem. Det tredje nyckelbegreppet är dämpning – mekanismen som sprider vibrationsenergi. Även om en standardiserad modal FEM-analys ofta antar odämpade svängningar (dämpning = 0), kan ingenjören ta hänsyn till material- eller strukturdämpning för att uppskatta hur snabbt vibrationerna klingar av. En lämplig dämpningsnivå hjälper till att begränsa vibrationsamplituder och förebygga långvariga oscillationer.

Sammanfattningsvis ger modalanalysen konstruktören en “dynamisk signatur” för konstruktionen – en uppsättning egenfrekvenser och de tillhörande svängningsformerna. Utifrån detta kan man bedöma konstruktionens benägenhet för resonans och säkerställa att den konstruerade maskinen eller det tekniska objektet blir säkert och effektivt under drift. Detta utgör grunden för vidare dynamiska analyser och säkerställer att konstruktionen uppfyller kraven avseende vibrationer.

Hur går en modal analys med FEM till?

En typisk modal MES-analys består av flera steg som genomförs med hjälp av programvara för Finita Elementmetoden (FEM). Nedan beskriver vi de huvudsakliga etapperna i en sådan analys:

1. Förberedelse av modellen: geometri, nät och randvillkor. Inledningsvis skapas en FEM-modell av den analyserade konstruktionen – den återger komponentens eller sammanställningens geometri, materialegenskaper (densitet, Youngs modul osv.) samt randvillkor (typ av upplag, infästning osv.). Det är viktigt att geometrin diskretiseras korrekt (meshing) till finita element och att kopplingarna mellan delarna definieras på rätt sätt. I detta skede säkerställer ingenjören modellens kvalitet – en korrekt återgivning av den verkliga konstruktionen, eftersom resultatens tillförlitlighet beror på detta. En bra modell innebär ett tillräckligt förtätat nät i kritiska områden, korrekta materialegenskaper samt att alla väsentliga randvillkor (t.ex. skruvförband, upplag) återges så nära verkligheten som möjligt. Det är också värt att försäkra sig om att modellen inte har “glapp” – felaktigt sammanfogade eller oinfästa delar kan i en modalanalys visa sig som artificiella moder med nollfrekvens (s.k. fri förflyttning av delar som inte är sammanbundna). Genom att kontrollera att de första egenmoderna motsvarar förväntade stela rörelser hos hela konstruktionen (t.ex. 6 stela förskjutningar för en fri kropp i rymden) kan man verifiera att upplag och förband har definierats korrekt.

2. Lösning av egenvärdesproblemet (modal solvern). Huvuduppgiften i en modalanalys är att lösa egenvärdesproblemet för konstruktionens rörelseekvationer. Ett FEM-program genererar, utifrån modellen, en global massmatris och en styvhetsmatris för konstruktionen och löser därefter egenvärdesekvationen av formen (K – λ M) φ = 0, där lösningarna utgörs av par: egenvärden λ (kopplade till egenfrekvenserna ω, vanligtvis λ = ω²) samt tillhörande egenvektorer φ (som beskriver svängningsformerna). I praktiken levererar solvern en lista med beräknade egenfrekvenser (t.ex. från den lägsta och uppåt) samt en uppsättning förskjutningsvektorer för varje mod (som kan visualiseras som en svängningsform). Ingenjören anger normalt i förväg hur många moder (svängningsformer) som ska bestämmas eller upp till vilken maximal frekvens beräkningarna ska utföras. Vanligtvis beräknas ett tiotal av de första moderna (t.ex. 6–20) eller alla moder inom det frekvensområde som är relevant ur driftssynpunkt. På så sätt fokuserar analysen på de egenvibrationer som kan hamna inom det område av excitationer som verkar på konstruktionen.

3. Tolkning av resultaten: frekvenser och svängningsformer. Efter beräkningarna får ingenjören en uppsättning resultat som behöver tolkas. Första steget är en genomgång av egenfrekvenserna – särskild uppmärksamhet läggs på de lägsta egenfrekvenserna (eftersom den lägsta moden ofta är lättast att excitera och vanligtvis ger störst amplituder vid påtvingad excitation). De erhållna frekvenserna jämförs med möjliga excitationsfrekvenser som konstruktionen kommer att utsättas för under drift. Om någon egenfrekvens hamnar nära en driftsfrekvens (t.ex. maskinens varvtal, fordonshjulens frekvens, elnätets pulsation eller den dominerande komponenten i markvibrationer) är det en varningssignal – risk för resonans. Det andra steget är analys av egenmodformer. Genom att studera deformationerna för efterföljande moder kan ingenjören bedöma vilka delar av konstruktionen som rör sig mest i respektive mod – t.ex. om det handlar om böjning av hela strukturen, en lokal svängning i någon beklädnadsplåt eller svängning i en delkomponent. Denna kunskap visar var konstruktionen är för mjuk eller vibrationskänslig. Exempelvis kan en modform avslöja att en viss balk böjer ut i sidled – vilket talar för behov av att lägga till tvärgående förstärkningar. Eller att en tung komponent svänger oberoende av resten – vilket kan innebära otillräcklig infästning.

Resultaten från modalanalysen – en uppsättning egenfrekvenser och svängningsformer – används därefter som underlag för konstruktionsbeslut. Om någon egenmod är potentiellt farlig (t.ex. om frekvensen sammanfaller med en excitation eller om vi ser stora deformationer i kritiska komponenter) kan konstruktören modifiera konstruktionen innan den byggs. Ökad styvhet (t.ex. genom grövre tvärsnitt, förstärkningsribbor), ändrad massa (tillägg av vikter, materialbyte) eller användning av vibrationsdämpare är typiska sätt att flytta egenfrekvenser eller minska vibrationsamplituder. Ofta upprepas modalanalysen iterativt efter att ändringar har införts för att bekräfta att dessa förbättringar är effektiva. På så sätt blir modalanalys en integrerad del av konstruktionscykeln – redan i det virtuella skedet eliminerar vi svaga punkter och säkerställer en lämplig säkerhetsmarginal för konstruktionens dynamik.

När och varför används modalanalys?

En modalanalys bör genomföras varje gång en konstruktion kan utsättas för vibrationer under drift, eller när följderna av en eventuell resonans skulle kunna vara farliga. I praktiken gäller detta de flesta ingenjörsprojekt – från maskiner med roterande komponenter till fordon och elektronisk utrustning. Här är de viktigaste skälen och situationerna där modalanalys är oumbärlig:

• Undvika resonans och haverier: Huvudsyftet är att identifiera de frekvenser där konstruktionen kan hamna i resonans och att säkerställa att sådana sammanträffanden inte uppstår under normala driftförhållanden. Resonans leder till en kraftig ökning av vibrationsamplituden – även små periodiska krafter kan då orsaka stora förskjutningar och spänningar. Det är en rak väg till skador, utmattningssprickor och i extrema fall till att utrustningen eller konstruktionen förstörs. Med hjälp av modalanalys kan vi i förväg omkonstruera konstruktionen eller ändra maskinens driftparametrar så att vi undviker farliga resonansförhållanden. Till exempel: om vi vet att en viss maskin har en egenfrekvens vid ~50 Hz kan vi utforma drivsystemet så att det inte exciterar vibrationer vid den frekvensen, eller lägga till dämpare om 50 Hz är oundvikligt.
• Förbättrad hållbarhet och tillförlitlighet: Även om resonans inte omedelbart leder till en katastrof kan kontinuerliga vibrationer orsaka accelererat slitage på komponenter (lossnande förband, materialutmattning, utslagning av lager osv.). Modal analys gör det möjligt att identifiera potentiellt problematiska svängningsmoder och optimera konstruktionen för att minska oönskade vibrationer under drift. En robust anordning är inte bara en som klarar statiska laster, utan också en som inte vibrerar överdrivet vid dynamiska belastningar. Tillverkande företag kräver ofta att deras produkter genomgår rigorösa vibrationstester innan de släpps ut på marknaden – modalsimulering och närliggande analyser hjälper till att säkerställa att konstruktionen klarar dessa tester utan skador.
• Komfort och buller (aspekter av NVH): I branscher som fordonsindustrin eller konsumentelektronik handlar det inte bara om att produkten “inte ska gå sönder”, utan också om att den ska fungera tyst och vara bekväm för användaren. Konstruktionens vibrationer övergår ofta i buller – t.ex. i en bil kan en vibrerande kaross ge upphov till dovt muller i kupén, och i vitvaror kan resonans i plåtdetaljer orsaka surrande ljud. Modal analys gör det möjligt att utforma konstruktionen så att kritiska egenfrekvenser hamnar utanför det frekvensområde som människan kan höra eller känna. På så sätt kan man minska buller och vibrationer som användarna upplever och därmed höja produktkvaliteten. Många företag använder termen NVH (Noise, Vibration, Harshness) för att beskriva frågor kopplade till buller och vibrationer – och modal simulering är ett grundläggande verktyg i arbetet mot dessa fenomen. Exempelvis analyserar biltillverkare karossens vibrationsmoder för att undvika frekvenser som orsakar brummande i kupén vid motordrift. Att styva upp plåtpartier eller lägga till dämpning på ställen som bidrar till s.k. strukturburet buller kan avsevärt förbättra fordonets akustiska komfort.
• Krav enligt standarder och konstruktionsprocedurer: I vissa branscher krävs modalanalys uttryckligen av standarder eller konstruktionsriktlinjer. Exempelvis ställer standarden API 610 i den tidigare nämnda olje- och gasbranschen krav på kriterier för separation av egenfrekvenser från pumpars rotationshastigheter.

Sammanfattningsvis använder vi modalanalys förebyggande i konstruktionsskedet – för att undvika problem innan de uppstår – samt diagnostiskt för befintliga konstruktioner – för att lösa gåtor kring överdrivna vibrationer eller buller genom konstruktionsändringar. Det är ett universellt ingenjörsverktyg som hjälper till att lösa vibrationsproblem i varje skede av en produkts eller anläggnings livscykel. Resultatet blir en säkrare, mer hållbar och ofta bättre genomarbetad konstruktion.

Modalanalys och påtvingade vibrationer, harmonisk analys och akustik

Enbart modalanalys ger information om konstruktionens dynamiska egenskaper, men för att fullt ut kunna bedöma den verkliga vibrationsresponsen gör man ofta kompletterande analyser som bygger på modalresultaten. Naturliga vidare steg är harmonisk analys (frekvenssvar vid sinusformad excitation), simuleringar av påtvingade vibrationer i tidsdomänen samt akustiska analyser. Nedan går vi igenom hur modalanalys hänger ihop med dessa områden:

Harmonisk analys och påtvingade vibrationer

När egenfrekvenser och svängningsformer har bestämts är nästa steg ofta att kontrollera hur konstruktionen beter sig vid en konkret dynamisk excitation. Den modala analysen kan t.ex. ha visat att konstruktionen har en kritisk egenmod vid 80 Hz – men kommer den verkligen att skadas om en vibration med just den frekvensen uppstår i praktiken? Harmonisk analys besvarar den frågan genom att simulera konstruktionens respons på sinusformade excitationer med varierande frekvens. Den utnyttjar samtidigt modala resultat – de flesta FEM-solverar använder s.k. modal superposition, dvs. att man summerar bidragen från de enskilda egenmoderna till den påtvingade responsen. Med andra ord: innan vi utför en harmonisk analys (eller mer generellt en dynamisk analys av påtvingade excitationer) måste vi känna till systemets modala parametrar. Den modala basen gör det möjligt att beräkna responsen effektivt för många frekvenser.

I praktiken innebär en harmonisk analys till exempel att man applicerar en sinusformad kraft med given amplitud och frekvens på en FEM-modell, iterativt för efterföljande frekvenser inom ett visst intervall (en s.k. frekvens-sweep). Resultatet blir en frekvensberoende responskurva – t.ex. förskjutnings- eller spänningsamplituder som funktion av exciteringsfrekvensen. På så sätt kan man identifiera resonansfrekvenser (där amplitudkurvan har en topp) och bedöma vibrationsnivån vid och utanför resonans. Om en resonans hamnar nära driftfrekvensen och de simulerade spänningarna överskrider materialets utmattningsgräns, behöver konstruktionen ändras eller förses med dämpning, eftersom den på längre sikt riskerar att spricka. Ett sådant scenario uppstår när det inte går att flytta egenfrekvensen på ett enkelt sätt (t.ex. på grund av konstruktionsbegränsningar) – då gör en simulering av påtvingade vibrationer det möjligt att uppskatta den faktiska risken. I ett av de beskrivna fallen, när egenfrekvensen låg farligt nära exciteringen, genomförde ingenjörerna en harmonisk analys med pålagda periodiska krafter och jämförde de erhållna spänningarna med materialets utmattningshållfasthet; utifrån detta bedömde de att vibrationerna inte kommer att orsaka sprickor, trots resonans, eftersom amplituden är relativt liten. Det är förstås en undantagssituation – normalt försöker vi konstruera med god marginal till resonans, för att helt undvika risken att arbeta i den punkten.

Det bör tilläggas att harmonisk analys bara är en av typerna av analyser av påtvingade vibrationer. Andra är t.ex. transientanalys (impuls- eller mer generellt icke-periodisk excitation i tidsdomänen) eller spektralanalys (t.ex. slumpmässiga vibrationer med ett givet frekvensspektrum). I samtliga dessa fall utgör modalanalysen utgångspunkten – egenmoder formar en bas för att beräkna den dynamiska responsen på valfri excitation. Utan systemets modala karakteristik skulle det vara omöjligt att på ett effektivt sätt förutsäga konstruktionens beteende vid dynamisk belastning. Man kan därför säga att modalanalys tillhandahåller information som är nödvändig för vidare simulering av vibrationer i konstruktionen under verkliga förhållanden.

Koppling till akustik (buller och vibrationer)

Som nämnt går strukturvibrationer ofta hand i hand med buller. Vibrerande komponenter avger ljudvågor (strukturburet buller), och dessutom kan själva ljudvågorna i slutna utrymmen (t.ex. ett fordons kupé, kapslingen till en elektronisk enhet) skapa egna akustiska moder – alltså luftresonanser inne i utrymmet. Modal analys har stor betydelse vid akustikanpassad konstruktion och NVH. För det första gör kunskap om konstruktionens vibrationsmoder det möjligt att identifiera de vibrationer som leder till oönskad ljudemission. Ingenjörer kan då ändra konstruktionen för att minska amplituderna hos sådana vibrationer (t.ex. genom att lägga till förstärkningar) och därmed reducera bullret. Exempelvis analyserades karossens moder i ett av fordonsprojekten, och man konstaterade att en låg vibrationsmod i taket gav upphov till ett dovt buller som passagerarna kunde höra. Genom att införa en extra takförstärkning höjdes frekvensen för denna mod och vibrationerna dämpades, vilket effektivt sänkte bullernivån i kupén och förbättrade fordonets NVH-egenskaper. Detta visar att kontroll av vibrationer med hjälp av modal analys leder till tystare och mer behaglig drift av utrustning.

För det andra kan resultaten från en modalanalys användas i kopplade vibroakustiska simuleringar. När man känner till konstruktionens moder kan man genomföra en analys där den akustiska modellen (t.ex. luften i en bilkupé eller i ett hölje) exciteras av konstruktionens vibrationer med just dessa former och frekvenser. Detta gör det möjligt att förutsäga de ljudtrycksnivåer som genereras av de enskilda moden och avgöra vilka som är mest störande. Ett sådant angreppssätt används t.ex. inom fordonsindustrin, där man simulerar kopplade vibrationer i karossen och kupéns akustik för att lokalisera källor till lågfrekventa ljud och hitta motåtgärder. Sammantaget utgör modalanalys en brygga mellan struktur- och akustikingenjörskonst i vibrationssammanhang – den hjälper till att utforma en konstruktion så att den inte bara är hållfast, utan också inte alstrar obehagligt buller.

Modala tester och experimentell verifiering

Det är värt att understryka att även om modalanalys i FEM är ett kraftfullt verktyg för att förutsäga en konstruktions beteende, bör man alltid sträva efter att verifiera simuleringen med experiment. För detta används modala tester, även kallade experimentell modalanalys (EMA). De går ut på att man fysiskt exciterar konstruktionen till vibrationer och mäter dess respons för att på den grunden bestämma de verkliga egenfrekvenserna, svängningsformerna och dämpningskoefficienterna. I praktiken använder man för detta t.ex. en modalhammare (en handhammare med inbyggd kraftgivare som man slår på konstruktionen med) eller en vibrationsgenerator (en elektromagnetisk shaker som anbringas mot konstruktionen) samt en uppsättning accelerationsgivare (accelerometrar) placerade på konstruktionen. Slaget eller en sinusformad påtvingad excitation tillför en känd kraft, och givarna registrerar motsvarande accelerationer/deformationer. Utifrån detta tar man fram responspektrum och de frekvenser där responssignalen är maximal – det är just egenfrekvenserna. De relativa utslagen mellan givarna ger svängningsformen, medan bredden på resonanstopparna i spektrumet ger information om dämpningen.

De parametrar för modalanalys som erhålls genom mätningar kan därefter jämföras med resultaten från FEM-simuleringar. En sådan korrelation EMA vs. FEM gör det möjligt att bedöma noggrannheten i den numeriska modellen och vid behov justera vissa antaganden (t.ex. förbandens styvhet, värden på materialets Youngs modul osv.). Ingenjörer använder ofta indikatorer som MAC (Modal Assurance Criterion), som i tal anger hur lik den uppmätta och den beräknade svängningsformen är. Om korrelationen är svag (MAC lågt eller om frekvenserna skiljer sig avsevärt) går man tillbaka till MES-modellen och söker orsakerna till avvikelserna – till exempel en underskattad inspänning, en förbisedd masselement osv. På så sätt kan en iterativt förfinad modell sedan med hög säkerhet användas för prediktiva analyser. Dessutom möjliggör modern MES-programvara automatisk modelluppdatering baserat på resultaten från modala tester – optimeringsalgoritmer anpassar modellparametrarna så att överensstämmelse med experimentet uppnås.

Modala tester används också när vi ännu inte har en exakt modell eller när vi undersöker ett befintligt objekt (t.ex. en maskinprototyp, en konstruktion på plats). I industriella miljöer genomförs de för att diagnostisera vibrationsproblem i maskiner och verifiera att konstruktionen är korrekt. Exempelvis kan en tillverkare kräva att maskinleverantören redovisar resultaten från ett modalt test av ramen, för att bekräfta att dess egenfrekvenser stämmer överens med deklarationerna från FEM-analysen. Om inte kan det tyda på ett fel i tillverkningen eller i modelleringen. Sammanfattningsvis är experimentell modalanalys ett viktigt komplement till simuleringar – den bygger förtroende för resultaten och säkerställer att våra vibrationssimuleringar verkligen speglar beteendet hos den verkliga konstruktionen.

Tack vare modalanalys kan ingenjörer inom många discipliner – från mekanik, via arkitektur, till elteknik – ta fram säkrare, mer hållbara och tystare produkter och anläggningar. I en tid av virtuella simuleringar sparar verktyget både tid och kostnader genom att upptäcka vibrationsproblem på datorskärmen, i stället för genom trial-and-error på prototyper. Man kan med fog säga att modalanalys i dagens projektowaniu konstrukcji mechanicznych och långt därutöver har blivit en standard för god ingenjörspraxis – en garanti för att konstruktionen klarar verklighetens dynamiska utmaningar och samtidigt förblir stabil och tillförlitlig. Med hjälp av den omsätts FEM-beräkningar direkt i konstruktioner med högre säkerhets- och kvalitetsnivå, vilket i slutänden gynnar både tillverkare och slutanvändare. I ingenjörsvärldens dynamiska vardag är ett modalt perspektiv på konstruktionen en grundförutsättning för att ligga steget före vibrationerna innan de hinner överraska oss.