Analisi a fatica agli elementi finiti

Gli ingegneri che progettano macchine e strutture devono garantire che i loro prodotti resistano a un utilizzo prolungato senza danneggiarsi. Uno dei fenomeni più insidiosi che limitano la vita utile della struttura è la fatica del materiale – la formazione progressiva di cricche da fatica sotto l’effetto di cicli di carico, anche quando i carichi sono nettamente inferiori alla resistenza statica del materiale. Si stima che la fatica sia responsabile di ~90% dei guasti dei componenti meccanici durante l’esercizio. Peggio ancora, le cricche da fatica si sviluppano in modo subdolo – da microfessure microscopiche fino a un guasto improvviso e catastrofico – spesso senza preavviso. Per questo motivo, l’analisi della resistenza a fatica è un elemento molto importante della progettazione di strutture meccaniche orientata alla sicurezza. In pratica, l’analisi a fatica consiste nel prevedere dopo quanti cicli una determinata zona della struttura può andare incontro a criccatura. Oggi viene eseguita tramite simulazioni al computer, combinando calcoli strutturali FEM (con il metodo degli elementi finiti) con modelli che descrivono il comportamento del materiale sotto carichi ciclici. Una simulazione della durata a fatica di questo tipo consente agli ingegneri di individuare i punti critici della struttura, prevenire guasti e cricche già in fase di progetto e ottimizzare la struttura in ottica di durabilità. Di conseguenza, un’analisi a fatica eseguita correttamente aiuta a evitare guasti costosi o richiami di prodotto e, soprattutto, aumenta la sicurezza e l’affidabilità del prodotto in esercizio.

In cosa consiste l’analisi a fatica nei calcoli FEM?

La tradizionale analisi strutturale (statica) in FEM verifica se la struttura sopporta un singolo carico massimo senza deformazioni plastiche o rottura. Tuttavia, il rispetto dei criteri statici non garantisce la durabilità nel lungo periodo: un componente può non rompersi per un carico applicato una sola volta, ma può danneggiarsi per fatica dopo la ripetizione di quel carico molte volte. L’analisi a fatica integra quindi i calcoli FEM con la valutazione della vita utile della struttura in presenza di ripetizione dei carichi.

Nella pratica ingegneristica funziona così: per prima cosa si realizza il modello FEM del componente e si eseguono i calcoli FEM per i casi di carico caratteristici (ad es. simulazione della marcia su una strada dissestata per il telaio di un veicolo, carico dovuto alle raffiche di vento per la struttura di una turbina eolica, ecc.). Il FEM fornisce la distribuzione delle tensioni (e delle deformazioni) sull’intero modello. Successivamente, a questi risultati si aggiunge un modello di materiale che tenga conto delle proprietà a fatica del materiale – più spesso sotto forma di curva S-N (di Wöhler) o di parametri di resistenza a fatica. Su questa base si calcola la durata a fatica: cioè il numero di cicli fino all’innesco della cricca oppure il fattore di sicurezza a fatica in ogni punto della struttura. Questi calcoli possono essere eseguiti all’interno del software FEM (nei moduli di fatica) oppure con strumenti specializzati per l’analisi a fatica. Il risultato è, tra l’altro, una mappa delle zone più esposte alla criccatura e una stima di dopo quanti cicli si verificherà il danneggiamento. In questo modo il progettista sa quali aree della struttura richiedono miglioramenti per raggiungere la vita utile prevista e un esercizio sicuro.

Metodi di base per la valutazione della fatica del materiale

Esistono diversi approcci consolidati per i calcoli a fatica. La scelta del metodo dipende, tra l’altro, dall’entità delle deformazioni (elastiche o plastiche), dal numero di cicli fino al guasto e dalla natura dei carichi. Tra i metodi di base rientrano:

• Metodo S-N (stress-life, curva di Wöhler) – Il classico approccio tensione–numero di cicli si basa su grafici che mostrano la relazione tra il livello di tensione e il numero di cicli fino a rottura. La curva S-N per un determinato materiale si determina sperimentalmente: i provini vengono sottoposti a carico ciclico sinusoidale con ampiezza diversa e, per ciascun provino, si registra il numero di cicli fino alla criccatura. In questo modo si ottiene un grafico (spesso in scala log-log) chiamato curva di Wöhler, nel quale a tensioni più basse corrisponde una maggiore durata (più cicli fino alla criccatura).. Il metodo S-N presuppone un comportamento elastico del materiale – è adatto soprattutto alla fatica ad alto numero di cicli, quando le tensioni restano al di sotto del limite di snervamento e la vita utile si misura da migliaia fino a milioni di cicli. Si assume che oltre circa 10^4 cicli (ad es. in intervalli >10 mila) domini ancora il campo elastico, quindi il metodo S-N fornisce risultati affidabili. La curva S-N presenta spesso un tratto orizzontale a un elevato numero di cicli: corrisponde al limite di fatica del materiale (endurance limit), cioè all’ampiezza al di sotto della quale i provini in acciaio possono sopportare un numero illimitato di cicli senza criccarsi. (Nota: non tutti i materiali hanno un limite di fatica ben definito – ad es. l’alluminio mostra una riduzione graduale della resistenza all’aumentare del numero di cicli; per questo, convenzionalmente, si definisce per esso la resistenza a 10^7 cicli invece di una durata infinita).
• Metodo ε-N (strain-life, metodo deformativo) – Quando le deformazioni non restano elastiche e compaiono plasticizzazioni locali (ad es. in presenza di intagli, zone di concentrazione delle tensioni), l’accuratezza del metodo S-N diminuisce. In questi casi si utilizza il metodo deformazione–numero di cicli, noto anche come approccio di Coffin-Manson. Il metodo ε-N somma le deformazioni elastiche e plastiche durante il ciclo: definisce l’ampiezza totale di deformazione come somma dell’ampiezza elastica (Δε_e/2) e di quella plastica (Δε_p/2). Le curve ε-N combinano in un’unica equazione la legge di Basquin (descrizione della parte elastica della relazione tensione–cicli) e la legge di Coffin-Manson (descrizione della parte plastica). Il metodo deformativo si applica principalmente alla fatica a basso numero di cicli (quando il numero di cicli fino al guasto è ridotto, dell’ordine di <10 mila, ma sono presenti elevate ampiezze di tensione prossime al limite di snervamento del materiale). Considerando le deformazioni plastiche, il metodo ε-N prevede meglio la vita utile di componenti che lavorano in condizioni di grandi deformazioni (ad es. durante gli avviamenti delle macchine, cicli termici che causano dilatazione termica, ecc.).
• Influenza della tensione media – diagramma di Goodman – I carichi reali raramente sono completamente alternati e simmetrici (da trazione a compressione). Spesso si ha un carico ciclico con una componente statica (la cosiddetta tensione media). Una tensione media di trazione è in genere dannosa per la resistenza a fatica (accelera l’innesco delle cricche), mentre una tensione di compressione può essere favorevole (chiudendo le microcricche). Per tenere conto dell’effetto della tensione media nei calcoli, si usano correzioni e diagrammi a vita costante (i cosiddetti diagrammi di Goodman, Gerber, Soderberg). Il più diffuso è il diagramma di Goodman: in un sistema di assi si riporta la tensione media sull’asse orizzontale e l’ampiezza della tensione alternata sull’asse verticale. Il diagramma delimita l’area delle combinazioni sicure di questi valori. La retta di Goodman unisce il punto Rm (resistenza a trazione del materiale con tensione media pari a Rm e ampiezza nulla) con il punto del limite di fatica (ampiezza massima a tensione media nulla). Qualsiasi combinazione di tensione media e alternata che si trovi al di sotto della retta di Goodman indica assenza di criccatura per un numero infinito di cicli, mentre i punti al di sopra indicano rischio di guasto per fatica. In pratica, gli ingegneri spesso correggono l’ampiezza di tensione efficace secondo la formula di Goodman (o di Gerber per materiali duttili) prima di utilizzare la curva S-N: questo consente di stimare la durata a una data tensione media.
• Criteri di fatica multiassiale (ad es. Dang Van) – Molti componenti sono soggetti a carichi con uno stato di tensione complesso (multiassiale), ad es. combinazione di flessione e torsione di un albero, oppure pressione + flessione in un tubo. Le curve S-N classiche si basano su tensioni nominalmente monoassiali; per valutare la fatica multiassiale si impiegano quindi criteri che tengono conto di opportune ipotesi di resistenza. Un esempio è il criterio di Dang Van, usato soprattutto per valutare il limite di resistenza a fatica in condizioni di carico complesso. Il metodo di Dang Van prevede la ricerca della combinazione di microtensioni di taglio e pressione idrostatica nel materiale che può innescare microcricche. Il risultato dell’analisi Dang Van è un coefficiente di sicurezza (safety factor) rispetto alla fatica a vita infinita, e non un numero specifico di cicli fino al guasto. Per applicare questo criterio servono parametri specifici del materiale (determinati sulla base di prove monoassiali e biassiali). Viene utilizzato, ad es., nell’industria automobilistica per l’analisi della durata di componenti delle sospensioni, ingranaggi, ecc., dove i carichi variano su più assi e si richiede una vita utile illimitata del componente con un adeguato margine di sicurezza.
• Regola di Palmgren-Miner (somma dei danni) – Quando un elemento strutturale è soggetto a ampiezze di carico variabili (il cosiddetto spettro di carico), una singola curva S-N non è sufficiente: il materiale accumula danno da cicli con livelli diversi. La regola di Miner è un’ipotesi semplice e molto diffusa di accumulo lineare del danno a fatica. Secondo questa ipotesi, ogni ciclo a una certa ampiezza consuma una frazione della “vita” del materiale. Pur con le sue semplificazioni, questo metodo è ampiamente utilizzato in ingegneria (automotive, aeronautica, strutture offshore) per una valutazione indicativa della durata a fatica sotto carichi variabili complessi. Consente di sommare l’effetto, ad es., di migliaia di carichi misurati in cantiere in un semplice indicatore di esaurimento della vita a fatica del componente.

Svolgimento dell’analisi a fatica passo dopo passo

L’analisi a fatica con il Metodo degli Elementi Finiti è un processo strutturato che, passo dopo passo, consente di valutare la durabilità della struttura e di individuare le aree critiche. Di seguito presentiamo una tipica sequenza di attività:

1. Definizione del problema e del modello FEM: L’ingegnere definisce la geometria del componente e i casi di carico che rappresentano al meglio le reali condizioni di esercizio. In questa fase si stabilisce quali tipologie di carichi ciclici verranno analizzate (ad es. carichi sinusoidali, vibrazioni casuali, cicli di accensione/spegnimento della macchina, ecc.). Si prepara il modello a elementi finiti: la mesh FEM, le proprietà del materiale (elastiche, plastiche) e le condizioni al contorno e i carichi corrispondenti ai cicli di lavoro ripetitivi.
2. Calcoli FEM per carichi ciclici: Si eseguono simulazioni FEM (più spesso analisi statiche o dinamiche) per determinare tensioni e deformazioni dovute ai carichi imposti. Nel caso più semplice può trattarsi di un singolo ciclo di carico (ad es. la flessione massima di una trave), mentre nei casi più complessi si considera una serie di più casi che rappresentano diverse fasi del ciclo o differenti scenari di carico. Se è disponibile una storia di carico da misure (ad es. segnali estensimetrici nel tempo), si applicano tecniche di estrazione dei cicli come l’algoritmo Rainflow, per ridurre un segnale di carico variabile a un insieme di blocchi di cicli con ampiezze e valori medi definiti.
3. Identificazione delle zone più sollecitate: Già dalla sola analisi delle tensioni FEM è possibile individuare le aree con le tensioni più elevate o con le maggiori concentrazioni di tensione (ad es. in corrispondenza di intagli, fori, intagli in prossimità delle saldature, ecc.). È lì che con maggiore probabilità avverrà l’innesco della cricca da fatica. Nell’analisi a fatica queste posizioni sono particolarmente importanti: spesso si definiscono i cosiddetti hot-spot di fatica, ossia i punti per i quali verrà calcolata la vita utile. Il software FEM può rilevare automaticamente gli elementi con il peggior fattore legato alle tensioni variabili, oppure l’ingegnere li seleziona sulla base dei risultati e dell’esperienza.
4. Scelta del modello di fatica e dei dati di materiale: Nel passo successivo occorre fornire i dati relativi alla resistenza a fatica del materiale. Si seleziona la curva S-N appropriata per il materiale (con il coefficiente di sicurezza previsto, la probabilità di sopravvivenza – ad es. 97,7% – e per il corrispondente intervallo di R, cioè il rapporto tra tensione min/max). Se sono previste deformazioni plastiche, al posto della S-N si utilizzano le curve ε-N (parametri di Coffin-Manson del materiale). La fonte di questi dati può essere costituita da norme di settore, risultati di prove del produttore del materiale o banche dati di fatica. È inoltre necessario stabilire se applicare una correzione per la tensione media: ad esempio si introduce il valore della tensione media per il ciclo considerato oppure, in modo conservativo, si adotta il diagramma di Goodman (che in pratica equivale a ridurre l’ampiezza ammissibile delle tensioni variabili all’aumentare della tensione media). Se necessario, si considerano anche correzioni per il fattore di sensibilità all’intaglio e per la qualità superficiale, soprattutto quando i dati S-N provengono da prove di laboratorio su provini lisci, mentre il componente reale presenta una superficie rugosa o giunzioni saldate.
5. Calcolo della vita utile o del danno: Avendo la distribuzione delle tensioni dallo scenario di carico e i dati di materiale, si passa alla vera e propria previsione della vita utile. Per ogni punto significativo (ad es. un elemento della mesh FEM nell’hot-spot) si calcola la sua vita a fatica. Se è presente un singolo ciclo di carico dominante, dalla curva S-N si ricava il numero di cicli a rottura per un’ampiezza pari alla tensione in quel punto e alla tensione media). Spesso, però, si hanno molti livelli di carico differenti: in tal caso si applica la regola di Miner descritta sopra. Di frequente, il risultato dell’analisi a fatica include anche un coefficiente di sicurezza: il margine rispetto al numero di cicli assunto, oppure il numero minimo di cicli diviso per il numero di cicli richiesto. Nel caso di criteri come Dang Van, il risultato viene fornito direttamente come coefficiente di sicurezza per la vita infinita (ad es. l’informazione se una certa zona resisterà ai richiesti 10^6 cicli con un margine di 1.5 oppure no).
6. Localizzazione e valutazione delle cricche: L’ultimo passaggio è l’interpretazione dei risultati. L’analisi indica aree specifiche della struttura con la vita utile più bassa (o con il danno più elevato). È lì che può iniziare più precocemente l’innesco della cricca da fatica. Di norma, nei report si presentano mappe a contorni sul modello FEM che mostrano la distribuzione del numero di cicli previsto fino alla rottura oppure i valori del coefficiente di sicurezza a fatica. L’ingegnere si concentra sugli elementi che mostrano i valori più critici. Se la vita utile della struttura minima prevista non soddisfa i requisiti (ad es. il componente deve resistere a 1 milione di cicli, ma l’analisi indica una cricca dopo 200.000), è necessario proporre modifiche progettuali: variazioni geometriche (raccordare gli intagli, aumentare la sezione), sostituire il materiale con uno più resistente a fatica, migliorare la qualità superficiale o applicare processi di incrudimento (ad es. pallinatura) per aumentare la vita utile.
7. Verifica e prove sul prototipo: Sebbene l’analisi a fatica FEM fornisca previsioni preziose, la migliore prassi è confermarne i risultati con prove sul prototipo. Spesso si eseguono test di fatica su componenti chiave o su interi sottogruppi (ad es. carichi ciclici multimilionari sulla sospensione di un’auto su banco prova) e si confrontano con le previsioni della simulazione. In questo modo il modello può essere calibrato e i dati sperimentali ottenuti consentono di adattare meglio il modello di materiale (ad es. affinare le curve S-N per il materiale reale dopo saldatura o lavorazione). Questo ciclo di verifica fa sì che il prodotto finale abbia una vita a fatica confermata sia in simulazione sia sperimentalmente, aumentando la fiducia nella sua sicurezza.

Applicazione dell’analisi a fatica in diversi settori

Le analisi a fatica sono oggi uno standard in molti comparti industriali, dall’automotive all’energia. Ovunque i componenti siano sottoposti a carichi ripetuti, gli ingegneri ricorrono a simulazioni a fatica per garantire una durata adeguata e prevenire i guasti. Di seguito alcuni esempi di applicazione nei vari settori:

• Automotive: Le strutture dei veicoli devono resistere a centinaia di migliaia di chilometri di vibrazioni, urti e variazioni di carico. L’analisi a fatica viene impiegata nella progettazione di telai portanti, componenti delle sospensioni, carrozzerie, assali, cerchi e persino parti del motore. Per esempio, il braccio oscillante della sospensione è soggetto a continui cicli di flessione dovuti alle irregolarità della strada: la simulazione a fatica consente di valutare se non si fessurerà dopo un determinato numero di cicli di torsione. Nei motori, alberi motore e bielle vengono verificati rispetto alla fatica del materiale dovuta a milioni di cicli di combustione. I costruttori automobilistici utilizzano sia calcoli agli elementi finiti sia prove al banco (il cosiddetto durability testing) per assicurarsi che, ad esempio, il telaio del veicolo non sviluppi cricche da fatica per l’intera vita utile. Grazie alle analisi a fatica è anche possibile ottimizzare la massa dei componenti, eliminando il sovradimensionamento eccessivo dove una sezione minore soddisfa comunque i requisiti di durabilità, con ricadute in termini di veicoli più leggeri ed efficienti.
• Aeronautica: Il settore aeronautico, già a partire dai tragici incidenti dei jet De Havilland Comet negli anni ’50 (causati da cricche da fatica nel rivestimento attorno ai finestrini), attribuisce un’enorme importanza alla fatica dei materiali. Ogni aeromobile passeggeri ha una vita a fatica definita in cicli decollo-atterraggio e in cicli di pressurizzazione della fusoliera. Le analisi strutturali delle costruzioni aeronautiche includono sempre una sezione dedicata alla fatica, ad esempio i calcoli su dopo quanti cicli di pressurizzazione comparirà una cricca nel rivestimento o quando un componente del carrello potrebbe richiedere la sostituzione. Si adottano le filosofie fail-safe e damage-tolerance, cioè si assume la presenza di cricche e si progettano i componenti in modo che il guasto non sia improvviso né catastrofico (ad esempio longheroni doppi nelle ali, ispezioni defettoscopiche periodiche delle zone critiche). La simulazione della durabilità a fatica consente di definire gli intervalli tra le ispezioni, ad esempio prevedendo che dopo 5000 cicli di volo sia necessario ispezionare un determinato nodo del carrello. In questo modo l’aeronautica mantiene un elevato livello di sicurezza e i componenti strutturali degli aeromobili vengono sfruttati in modo ottimale (non vengono sostituiti né troppo presto né troppo tardi).
• Macchine industriali e strutture ingegneristiche: Nell’industria pesante molte apparecchiature lavorano in modo ciclico: le presse da forgia applicano forza migliaia di volte, i carriponte sollevano e abbassano ripetutamente i carichi, ponti e gru sono soggetti a carichi ciclici dovuti al traffico veicolare o al vento. Le analisi a fatica si applicano, ad esempio, ai bracci delle gru (valutazione della durabilità delle saldature nelle zone con i maggiori momenti flettenti), ai tamburi degli argani (numero di cicli di avvolgimento della fune fino alla rottura) o alle strutture in acciaio degli edifici alti (l’oscillazione al vento genera miliardi di cicli di tensione negli elementi strutturali). Anche nell’ingegneria civile si studia la fatica: ad esempio i ponti stradali devono sopportare centinaia di migliaia di passaggi di camion. Le norme (ad esempio l’Eurocodice) richiedono di eseguire analisi a fatica per i ponti, considerando il traffico veicolare come una serie di cicli di carico. Nelle macchine rotanti, come turbine o generatori, la fatica è altrettanto determinante: le palette di una turbina a vapore subiscono variazioni periodiche della forza dovute al flusso di vapore, mentre gli alberi dei generatori sono soggetti a vibrazioni torsionali. Ogni componente di questo tipo è sensibile alle cricche da fatica; per questo già in fase di progettazione delle strutture meccaniche gli ingegneri analizzano tali fenomeni per prevenire guasti durante l’esercizio.
• Energia: Nel settore energetico, in particolare nelle fonti rinnovabili e nelle centrali, le problematiche di fatica hanno un ruolo rilevante. Per esempio le turbine eoliche sono esposte a carichi del vento continuamente variabili: le pale del rotore si flettono a ogni rotazione e a ogni raffica, il che significa milioni di cicli di tensione nell’arco di 20-30 anni di funzionamento della turbina. L’analisi a fatica consente di prevedere se, ad esempio, dopo 10^7 cicli in un punto critico della pala (alla radice) possa comparire una cricca; su questa base si definisce la vita utile di progetto della turbina e si pianificano ispezioni periodiche delle pale. Nella produzione termoelettrica tradizionale, invece, si presenta il problema della fatica termica a basso numero di cicli: ad esempio tubazioni e caldaie subiscono tensioni a ogni riscaldamento e raffreddamento dell’impianto. Il numero di cicli completi di avviamento/arresto della centrale è limitato proprio dalla resistenza a fatica del materiale (le analisi agli elementi finiti determinano quanti cicli termici può sopportare un tubo di caldaia prima di fessurarsi). Anche nelle centrali nucleari sono obbligatorie le analisi strutturali in relazione alla fatica dei componenti dei circuiti di raffreddamento e in pressione. Le simulazioni a fatica indicano le posizioni di potenziali cricche (ad esempio attacchi degli ugelli, saldature di raccordo, curve delle tubazioni) e permettono di pianificare ispezioni NDT di tali aree durante le fermate di manutenzione, prima che si sviluppi una cricca critica. In sintesi, nel settore energetico l’analisi a fatica è uno strumento che garantisce sia l’affidabilità della fornitura di energia sia la sicurezza delle infrastrutture.

In sintesi, l’analisi a fatica è uno strumento estremamente potente nelle mani dell’ingegnere meccanico. Integra i tradizionali calcoli FEM con la dimensione del tempo e della durabilità, offrendo un quadro più completo della sicurezza della struttura. In un contesto di requisiti sempre più stringenti in termini di affidabilità dei prodotti, concorrenza di mercato e responsabilità verso l’utilizzatore, la capacità di prevedere il comportamento a fatica diventa fondamentale. Investire in un’analisi a fatica accurata in fase di progettazione ripaga ampiamente durante l’esercizio: funzionamento senza guasti, minori costi di assistenza e soddisfazione degli utenti, che ricevono un prodotto con una lunga vita utile. Vale quindi la pena considerare fin dall’avvio dei progetti le analisi a fatica come un elemento standard della progettazione ingegneristica di strutture meccaniche, al pari delle analisi statiche o termiche. Un approccio così olistico garantisce che le nostre strutture non siano solo resistenti “sulla carta”, ma anche durevoli nel mondo reale.