Analisi modale

La moderna progettazione di strutture meccaniche richiede non solo la classica analisi di resistenza dei componenti, ma anche la considerazione dei fenomeni dinamici. Le vibrazioni possono portare a guasti, fatica del materiale o rumore eccessivo: per questo gli ingegneri ricorrono a calcoli FEM come l’analisi modale, così da individuare già in fase di progetto potenziali criticità legate alle vibrazioni della struttura e garantirne la sicurezza. Casi noti hanno dimostrato che ignorare la dinamica può avere conseguenze tragiche: un esempio classico è il crollo del ponte Tacoma Narrows nel 1940 a causa della risonanza indotta dal vento. In questo articolo spieghiamo in cosa consiste l’analisi modale FEM, quali informazioni fornisce al progettista e come consenta di progettare strutture resistenti alle vibrazioni. Presenteremo le fasi di questa analisi, diremo quando e perché conviene applicarla, discuteremo il legame con le analisi di vibrazioni forzate (armoniche), con l’acustica e con i test modali, e mostreremo applicazioni moderne di questo metodo in diversi settori: dall’industria delle macchine e dall’automotive, fino all’energia e all’elettronica.

Che cos’è l’analisi modale e cosa offre all’ingegnere?

L’analisi modale è una simulazione delle vibrazioni proprie di una struttura, che consente di determinarne le frequenze proprie (frequenze naturali) e le forme modali (mode shapes). In altre parole, risponde a due domande chiave: a quali frequenze la struttura andrà in risonanza e quali forme assumerà durante tali vibrazioni. È importante sottolineare che l’analisi modale non fornisce direttamente l’entità degli spostamenti o delle tensioni sotto specifici carichi: mette a disposizione solo i dati sulle frequenze e sulle forme caratteristiche di vibrazione alle quali può verificarsi la risonanza. Per l’ingegnere si tratta di informazioni estremamente importanti: permettono di prevedere potenziali problemi di vibrazione e di valutare se una determinata struttura avrà tendenza alla risonanza sotto l’azione di eccitazioni tipiche (ad es. funzionamento del motore, vento, traffico veicolare, ecc.).

Le frequenze proprie sono le frequenze caratteristiche alle quali il sistema “tende” a vibrare. Conoscendole, possiamo progettare la struttura in modo che non coincidano con le eccitazioni esterne (ad es. con la frequenza di rotazione della macchina, con le raffiche di vento o con le vibrazioni del terreno durante un terremoto). Le forme modali, invece, mostrano i modelli di deformazione, cioè quali parti della struttura e in che modo si spostano a una determinata frequenza propria. Analizzando le forme modali, l’ingegnere può individuare le aree più critiche della struttura, maggiormente soggette a vibrazioni, e intervenire per irrigidirle o smorzarle. Il terzo concetto chiave è lo smorzamento, ossia il meccanismo di dissipazione dell’energia vibratoria. Sebbene l’analisi modale FEM standard assuma spesso vibrazioni non smorzate (smorzamento = 0), l’ingegnere può includere lo smorzamento del materiale o quello strutturale per stimare quanto rapidamente le vibrazioni si estingueranno. Un livello di smorzamento adeguato aiuta a limitare le ampiezze di vibrazione e a prevenire oscillazioni prolungate.

In sintesi, l’analisi modale fornisce al progettista la “firma dinamica” della struttura: un insieme di frequenze proprie e delle corrispondenti forme di vibrazione. Su questa base è possibile valutare la suscettibilità della struttura alla risonanza e assicurarsi che la macchina o l’opera ingegneristica progettata sia sicura ed efficiente durante l’esercizio. È il fondamento per ulteriori analisi dinamiche, garantendo che il progetto soddisfi i requisiti in materia di vibrazioni.

Come si svolge l’analisi modale FEM?

Una tipica analisi modale FEM si articola in alcuni passaggi, eseguiti con software per il Metodo degli Elementi Finiti (FEM). Di seguito descriviamo le principali fasi di questa analisi:

1. Preparazione del modello: geometria, mesh e condizioni al contorno. All’inizio si crea il modello FEM della struttura in esame: esso riproduce la geometria del componente o dell’assieme, le proprietà del materiale (densità, modulo di Young, ecc.) e le condizioni al contorno (modalità di supporto, vincoli, ecc.). È fondamentale discretizzare correttamente (meshing) la geometria in elementi finiti e definire in modo appropriato i collegamenti tra le parti. In questa fase l’ingegnere cura la qualità del modello, ossia la corretta rappresentazione della struttura reale, perché da questo dipende l’affidabilità dei risultati. Un buon modello significa una mesh sufficientemente fitta nelle zone critiche, proprietà del materiale corrette e tutte le condizioni al contorno rilevanti (ad es. fissaggi bullonati, appoggi) riprodotte il più possibile in modo realistico. È inoltre opportuno verificare che il modello non presenti “giochi”: elementi collegati in modo errato o non vincolati possono emergere nell’analisi modale come modi artificiali a frequenza zero (il cosiddetto movimento libero di parti non connesse). Controllare che i primi modi propri corrispondano ai previsti movimenti rigidi dell’intera struttura (ad es. 6 spostamenti rigidi per un corpo libero nello spazio) consente di verificare la corretta definizione di vincoli e collegamenti.

2. Risoluzione del problema agli autovalori (solver modale). Il compito principale dell’analisi modale è risolvere il problema agli autovalori per il sistema di equazioni del moto della struttura. Il software agli elementi finiti, a partire dal modello, genera la matrice globale di massa e la matrice di rigidezza della struttura, quindi risolve l’equazione agli autovalori nella forma (K – λ M) φ = 0, in cui le soluzioni sono coppie costituite da: autovalori λ (legati alle frequenze proprie ω, di norma λ = ω²) e i corrispondenti autovettori φ (che descrivono le forme modali). In pratica, il solver restituisce l’elenco delle frequenze proprie calcolate (ad es. dalla più bassa in su) e l’insieme dei vettori di spostamento per ciascun modo (che si possono visualizzare come forma di vibrazione). In genere l’ingegnere definisce in anticipo quanti modi (forme modali) determinare oppure fino a quale frequenza massima spingere i calcoli. Tipicamente si calcolano le prime decine di modi (ad es. 6–20) oppure tutti i modi nell’intervallo di frequenze rilevante dal punto di vista dell’esercizio. In questo modo l’analisi si concentra su quelle vibrazioni proprie che possono ricadere nel campo delle eccitazioni agenti sulla struttura.

3. Interpretazione dei risultati: frequenze e forme modali. Al termine dei calcoli, l’ingegnere ottiene un insieme di risultati che devono essere interpretati. Il primo passo è la revisione dei valori delle frequenze proprie – con particolare attenzione alle frequenze proprie più basse (poiché il modo più basso è spesso il più facile da eccitare e di norma presenta le ampiezze maggiori sotto eccitazione). Le frequenze ottenute vengono confrontate con le possibili frequenze di eccitazione a cui la struttura sarà esposta durante il funzionamento. Se una frequenza propria risulta vicina a una frequenza di esercizio (ad es. la velocità di rotazione della macchina, la frequenza legata alle ruote di un veicolo, la pulsazione della rete elettrica o la componente dominante delle vibrazioni del basamento), è un segnale di allarme – rischio di risonanza. Il secondo passo è l’analisi delle forme modali. Osservando le deformazioni dei modi successivi, l’ingegnere può valutare quali parti della struttura si spostano maggiormente in un determinato modo – ad es. se si tratta della flessione dell’insieme, di una vibrazione locale di una lamiera di rivestimento, oppure della vibrazione di un sottogruppo. Questa informazione indica dove la struttura è troppo cedevole o sensibile alle vibrazioni. Per esempio, una forma modale può evidenziare che una determinata trave flette lateralmente – suggerendo la necessità di aggiungere irrigidimenti trasversali. Oppure che un componente pesante vibra in modo indipendente dal resto – il che può indicare un fissaggio insufficiente.

I risultati dell’analisi modale – l’insieme delle frequenze proprie e delle forme di vibrazione – vengono poi utilizzati per prendere decisioni progettuali. Se un modo proprio è potenzialmente pericoloso (ad es. la frequenza coincide con l’eccitazione oppure si osservano grandi deformazioni di elementi critici), il progettista può modificare la struttura prima della sua realizzazione. L’aumento della rigidezza (ad es. tramite sezioni più spesse, nervature di irrigidimento), la variazione della massa (aggiunta di zavorre, cambio di materiale) o l’impiego di smorzatori di vibrazioni sono metodi tipici per spostare le frequenze proprie o ridurre le ampiezze di vibrazione. Spesso l’analisi modale viene ripetuta in modo iterativo dopo l’introduzione delle modifiche, per confermare l’efficacia di questi interventi. In questo modo l’analisi modale diventa parte integrante del ciclo di progettazione: già nella fase virtuale si eliminano i punti deboli e si garantisce un adeguato margine di sicurezza per quanto riguarda la dinamica della struttura.

Quando e perché si utilizza l’analisi modale?

È opportuno eseguire l’analisi modale ogni volta che una struttura può essere soggetta a vibrazioni durante l’esercizio o quando le conseguenze di un’eventuale risonanza sarebbero pericolose. In pratica, ciò riguarda la maggior parte dei progetti ingegneristici – dalle macchine con elementi rotanti, ai veicoli e ai dispositivi elettronici. Ecco i principali motivi e le situazioni in cui l’analisi modale è indispensabile:

• Evitare risonanza e guasti: L’obiettivo principale è individuare le frequenze alle quali la struttura potrebbe entrare in risonanza e assicurarsi che, nelle normali condizioni di esercizio, tali coincidenze non si verifichino. La risonanza provoca un brusco aumento dell’ampiezza delle vibrazioni: anche forze periodiche di piccola entità possono allora generare grandi spostamenti e tensioni. È una via diretta verso danneggiamenti, cricche da fatica e, nei casi estremi, verso la distruzione della macchina o della struttura. Grazie all’analisi modale possiamo intervenire in anticipo riprogettando la struttura o modificando i parametri di funzionamento della macchina, così da evitare condizioni di risonanza pericolose. Per esempio, se sappiamo che una determinata macchina ha una frequenza propria intorno a ~50 Hz, possiamo progettare il sistema di azionamento in modo che non ecciti vibrazioni a quella frequenza, oppure aggiungere smorzatori se 50 Hz è inevitabile.
• Miglioramento di durata e affidabilità: Anche se la risonanza non porta subito a un evento catastrofico, le vibrazioni continue possono causare un’usura accelerata dei componenti (allentamento dei collegamenti, fatica del materiale, danneggiamento dei cuscinetti ecc.). L’analisi modale consente di individuare i modi di vibrare potenzialmente critici e di ottimizzare la struttura per ridurre le vibrazioni indesiderate durante il funzionamento. Un’apparecchiatura robusta non è solo quella che sopporta carichi statici, ma anche quella che non vibra eccessivamente sotto carichi dinamici. Le aziende manifatturiere spesso richiedono che i loro prodotti superino rigorosi test di vibrazione prima dell’immissione sul mercato: la simulazione modale e le analisi correlate aiutano a verificare che la struttura li superi senza danni.
• Comfort e rumore (aspetti NVH): In settori come l’automotive o l’elettronica di consumo, non basta che il prodotto “non si rompa”: deve anche funzionare in modo silenzioso ed essere confortevole per l’utente. Le vibrazioni della struttura spesso si traducono in rumore: ad esempio, in un’auto una carrozzeria che vibra può generare un rimbombo nell’abitacolo, mentre negli elettrodomestici le lamiere in risonanza possono causare ronzii. L’analisi modale permette di progettare la struttura in modo che le frequenze di vibrazione più critiche ricadano al di fuori dell’intervallo udibile o percepibile dall’uomo. In questo modo si possono ridurre rumore e vibrazioni avvertiti dagli utenti, aumentando la qualità del prodotto. Molte aziende usano il termine NVH (Noise, Vibration, Harshness) per indicare le tematiche legate a rumorosità e vibrazioni, e la simulazione modale è uno strumento fondamentale per contrastare questi fenomeni. Per esempio, i costruttori di automobili analizzano i modi di vibrare della carrozzeria per evitare frequenze che causano il ronzio dell’abitacolo durante il funzionamento del motore. L’irrigidimento di pannelli in lamiera o l’aggiunta di smorzamenti nelle aree responsabili del cosiddetto rumore strutturale può migliorare in modo significativo il comfort acustico del veicolo.
• Requisiti di norme e procedure di progettazione: In alcuni settori l’analisi modale è addirittura richiesta da norme o linee guida di progettazione. Per esempio, nel già citato settore oil & gas, lo standard API 610 impone criteri relativi alla separazione delle frequenze proprie dalle velocità di rotazione delle pompe.

In sintesi, l’analisi modale si utilizza in via preventiva nella fase di progettazione, per evitare problemi prima che si manifestino, e a fini diagnostici sulle strutture esistenti, per risolvere i casi di vibrazioni o rumore eccessivi attraverso modifiche costruttive. È uno strumento ingegneristico universale che aiuta a risolvere i problemi di vibrazione in ogni fase del ciclo di vita di un prodotto o di un’opera. Il risultato è una struttura più sicura, più durevole e spesso meglio ottimizzata.

Analisi modale e vibrazioni forzate, analisi armonica e acustica

La sola analisi modale fornisce informazioni sulle proprietà dinamiche della struttura, ma per valutare pienamente la risposta reale alle vibrazioni spesso si eseguono analisi aggiuntive utilizzando i risultati modali. Gli sviluppi più naturali sono l’analisi armonica (risposta in frequenza a un’eccitazione sinusoidale), le simulazioni di vibrazioni forzate nel dominio del tempo e le analisi acustiche. Di seguito vedremo come l’analisi modale si collega a questi temi:

Analisi armonica e vibrazioni forzate

Dopo aver determinato le frequenze proprie e le forme modali, il passo successivo è spesso verificare come la struttura si comporterà sotto l’effetto di una specifica eccitazione dinamica. L’analisi modale ha indicato, ad esempio, che la struttura presenta un modo proprio critico a 80 Hz: ma si danneggerà davvero se, nella pratica, si manifesterà una vibrazione a quella frequenza? L’analisi armonica risponde a questa domanda simulando la risposta della struttura a eccitazioni sinusoidali a frequenza variabile. A tal fine sfrutta i risultati modali: la maggior parte dei solver agli elementi finiti utilizza la cosiddetta sovrapposizione modale, cioè la somma dei contributi dei singoli modi propri alla risposta forzata. In altre parole, prima di eseguire un’analisi armonica (o, più in generale, un’analisi dinamica delle eccitazioni), dobbiamo conoscere i parametri modali del sistema. La base modale consente di calcolare in modo efficiente la risposta su molte frequenze.

In pratica, l’analisi armonica consiste, ad esempio, nell’applicare al modello agli elementi finiti una forza sinusoidale con ampiezza e frequenza assegnate, ripetendo iterativamente il calcolo per frequenze successive all’interno di un certo intervallo (il cosiddetto sweep in frequenza). Il risultato è la risposta in frequenza del sistema, ad esempio l’ampiezza degli spostamenti o delle tensioni in funzione della frequenza di eccitazione. In questo modo è possibile identificare le frequenze di risonanza (dove il grafico dell’ampiezza presenta un picco) e valutare l’entità delle vibrazioni in risonanza e fuori risonanza. Se una risonanza cade vicino alla frequenza di esercizio e le tensioni simulate superano il limite di fatica del materiale, la struttura richiede modifiche o l’introduzione di smorzamento, perché nel lungo periodo c’è il rischio di fessurazione. Questo scenario si verifica quando non è possibile spostare facilmente la frequenza propria (ad esempio per vincoli di progetto): in tal caso, la simulazione delle vibrazioni forzate consente di stimare il rischio reale. In uno dei casi descritti, quando la frequenza propria si avvicinava pericolosamente all’eccitazione, gli ingegneri hanno eseguito un’analisi armonica applicando forze periodiche e hanno confrontato le tensioni ottenute con la resistenza a fatica del materiale; su questa base hanno valutato che le vibrazioni non causeranno fessurazioni, nonostante la risonanza, perché l’ampiezza è relativamente contenuta. Naturalmente si tratta di un caso eccezionale: in genere si cerca di progettare lontano dalla risonanza, per evitare del tutto il rischio di lavorare in quel punto.

Va aggiunto che l’analisi armonica è solo uno dei tipi di analisi delle vibrazioni forzate. Altri esempi sono l’analisi transient (eccitazione impulsiva o, più in generale, non periodica nel dominio del tempo) oppure l’analisi spettrale (ad esempio vibrazioni casuali con uno spettro in frequenza assegnato). In tutti questi casi l’analisi modale rappresenta il punto di partenza: i modi propri costituiscono la base per calcolare la risposta dinamica a qualsiasi eccitazione. Senza la caratterizzazione modale del sistema sarebbe impossibile prevedere in modo efficiente il comportamento della struttura sotto carichi dinamici. Si può quindi dire che l’analisi modale fornisce le informazioni indispensabili per la successiva simulazione delle vibrazioni della struttura in condizioni reali.

Relazione con l’acustica (rumore e vibrazioni)

Come accennato, le vibrazioni della struttura spesso vanno di pari passo con il rumore. Gli elementi in vibrazione emettono onde sonore (rumore strutturale) e, inoltre, negli spazi chiusi (ad esempio l’abitacolo di un veicolo, l’involucro di un dispositivo elettronico) le stesse onde acustiche possono generare modi acustici propri, cioè risonanze dell’aria all’interno. L’analisi modale è molto importante nella progettazione in ottica acustica e NVH. In primo luogo, conoscere i modi di vibrazione della struttura consente di individuare quelle vibrazioni che portano all’emissione di suoni indesiderati. Gli ingegneri possono quindi modificare la struttura per ridurre l’ampiezza di tali vibrazioni (ad esempio aggiungendo irrigidimenti) e, di conseguenza, ridurre il rumore. Per esempio, in un progetto automotive sono stati analizzati i modi della carrozzeria e si è riscontrato che un modo a bassa frequenza del tetto causava un rimbombo percepibile dai passeggeri. L’aggiunta di un rinforzo al tetto ha aumentato la frequenza di quel modo e attenuato le vibrazioni, riducendo efficacemente il livello di rumore nell’abitacolo e migliorando le caratteristiche NVH del veicolo. Questo dimostra che il controllo delle vibrazioni tramite l’analisi modale si traduce in un funzionamento più silenzioso e più confortevole dei dispositivi.

In secondo luogo, i risultati dell’analisi modale possono essere utilizzati per simulazioni vibroacustiche accoppiate. Disponendo dei modi della struttura, è possibile eseguire un’analisi in cui il modello acustico (ad esempio l’aria nell’abitacolo di un’auto o all’interno di un involucro) viene eccitato dalle vibrazioni della struttura con quelle specifiche forme e frequenze. Ciò consente di prevedere i livelli di pressione sonora generati dai singoli modi e di stabilire quali siano i più fastidiosi. Questo approccio è utilizzato, ad esempio, nell’industria automobilistica, dove si simulano le vibrazioni accoppiate della carrozzeria e l’acustica dell’abitacolo per individuare le sorgenti dei rumori a bassa frequenza e definire le contromisure. In generale, l’analisi modale costituisce un ponte tra l’ingegneria strutturale e quella acustica nel contesto delle vibrazioni: aiuta a progettare una struttura che non solo sia resistente, ma che non generi nemmeno rumori sgradevoli.

Prove modali e verifica sperimentale

Vale la pena sottolineare che, sebbene l’analisi modale con il Metodo degli Elementi Finiti sia uno strumento molto potente per prevedere il comportamento di una struttura, bisognerebbe sempre puntare a verificare la simulazione con una prova sperimentale. A questo scopo si eseguono i test modali, detti anche analisi modale sperimentale (EMA). Consistono nell’eccitare fisicamente la struttura inducendo vibrazioni e nel misurarne la risposta, così da determinare le frequenze proprie reali, le forme modali e i coefficienti di smorzamento. In pratica si utilizzano, ad esempio, un martello modale (martello manuale con sensore di forza integrato, con cui si colpisce la struttura) oppure un eccitatore di vibrazioni (shaker elettromagnetico applicato alla struttura), insieme a un set di sensori di accelerazione (accelerometri) distribuiti sulla struttura. Il colpo o l’eccitazione sinusoidale introducono una forza nota, mentre i sensori registrano le accelerazioni/deformazioni corrispondenti. Su questa base si ricavano gli spettri di risposta e le frequenze alle quali il segnale di risposta è massimo: sono proprio le frequenze proprie. Gli spostamenti relativi tra i sensori forniscono la forma di vibrazione, mentre la larghezza dei picchi di risonanza nello spettro dà informazioni sullo smorzamento.

I parametri modali ottenuti dalle misure possono poi essere confrontati con i risultati della simulazione agli Elementi Finiti. Questa correlazione EMA vs. Metodo degli Elementi Finiti consente di valutare l’accuratezza del modello numerico e, se necessario, di correggere alcune ipotesi (ad es. la rigidezza dei collegamenti, i valori del modulo di Young del materiale, ecc.). Gli ingegneri utilizzano spesso indicatori come il MAC (Modal Assurance Criterion), che quantifica numericamente la somiglianza tra la forma modale misurata e quella calcolata. Se la correlazione è scarsa (MAC basso oppure frequenze molto diverse), si torna al modello agli Elementi Finiti e si cercano le cause delle discrepanze, ad esempio un vincolo sottostimato, un elemento di massa trascurato, ecc. In questo modo, un modello affinato in modo iterativo può poi essere impiegato con elevata affidabilità per analisi predittive. Inoltre, i moderni software agli Elementi Finiti consentono l’aggiornamento automatico del modello sulla base dei risultati dei test modali: algoritmi di ottimizzazione adattano i parametri del modello per ottenere la concordanza con l’esperimento.

I test modali vengono utilizzati anche quando non si dispone ancora di un modello preciso o quando si analizza un oggetto esistente (ad es. un prototipo di macchina, una struttura in sito). In ambito industriale si eseguono per diagnosticare problemi di vibrazione delle macchine e verificare la correttezza del progetto. Per esempio, un produttore può richiedere al fornitore della macchina i risultati del test modale del telaio, per confermare che le sue frequenze proprie siano coerenti con quanto dichiarato dall’analisi agli Elementi Finiti. In caso contrario, potrebbe essere un segnale di un errore di realizzazione o di modellazione. In sintesi, l’analisi modale sperimentale è un’importante integrazione alle simulazioni: aumenta la fiducia nei risultati e garantisce che le nostre simulazioni delle vibrazioni riflettano davvero il comportamento della struttura reale.

Grazie all’analisi modale, ingegneri di diverse specializzazioni – dai meccanici agli architetti, fino agli ingegneri elettrici – progettano prodotti e opere più sicuri, più durevoli e più silenziosi. Nell’era delle simulazioni virtuali, questo strumento consente di risparmiare tempo e costi, individuando i problemi di vibrazione sullo schermo del computer invece che con tentativi ed errori sui prototipi. Si può dire con certezza che, nella moderna progettazione di strutture meccaniche e non solo, l’analisi modale è diventata uno standard di buona pratica ingegneristica: la garanzia che la struttura saprà affrontare le sfide dinamiche del mondo reale, rimanendo stabile e affidabile. Grazie ad essa, i calcoli agli Elementi Finiti si traducono direttamente nella progettazione di strutture meccaniche con un livello superiore di sicurezza e qualità, a beneficio sia dei produttori sia degli utenti finali. Nel mondo dinamico dell’ingegneria, una lettura “modale” della struttura è fondamentale per anticipare le vibrazioni prima che ci colgano di sorpresa.